정의
이십팔각형은 28개의 변과 28개의 내각을 가진 평면 다각형이다. 모든 변과 내각이 서로 같은 경우를 정이십팔각형이라고 한다.
개요
이십팔각형은 정다각형 중 하나로, 내각의 합은 $(n-2) \times 180^\circ = 26 \times 180^\circ = 4 680^\circ$이며, 각 내각은 $ \frac{4 680^\circ}{28}=167.142857\ldots^\circ$이다.
정이십팔각형의 한 변의 길이를 $a$라 할 때, 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$는 각각
$$
R = \frac{a}{2\sin\left(\frac{\pi}{28}\right)},\qquad
r = \frac{a}{2\tan\left(\frac{\pi}{28}\right)}
$$
으로 표현된다.
어원/유래
한국어에서 다각형은 “숫자 + 각형” 형태로 표기한다. “이십팔”은 숫자 28을 한글로 읽은 것이며, “각형”은 ‘각(변)’이 여러 개 모인 도형을 의미한다. 따라서 “이십팔각형”은 28개의 변을 가진 다각형이라는 뜻이다. 이 명명법은 국제적인 수학 용어 체계와 일치한다.
특징
| 구분 | 내용 |
|---|---|
| 내각의 합 | $4 680^\circ$ |
| 한 내각 | $167.142857\ldots^\circ$ |
| 대칭성 | 정이십팔각형은 28개의 회전 대칭과 28개의 반사 대칭을 갖는 디헤드랄 군 $D_{28}$의 대칭성을 가진다. |
| 작도 가능성 | 28 = $2^{2}\times7$이므로, 고전적인 작도(컴퍼스와 각도기)로 정이십팔각형을 그릴 수 있다. (7각형과 4각형의 작도가 가능하기 때문) |
| 넓이 | 변의 길이 $a$에 대해 $$ A = \frac{28}{4},a^{2}\cot!\left(\frac{\pi}{28}\right) $$ 로 계산된다. |
| 외접·내접원 | 위의 식에 따라 외접원 반지름 $R$와 내접원 반지름 $r$을 구할 수 있다. |
관련 항목
- 다각형
- 정다각형
- 다각형의 내각·외각
- 작도 가능 다각형
- 28‑gon (영어)
- 외접원·내접원
- 대칭군 $D_{n}$
본 항목은 현재까지 확인된 수학적 정의와 성질을 기반으로 작성되었으며, 추가적인 학술적 연구가 진행될 경우 내용이 보완될 수 있다.