이상수(理想數, ideal number)는 정수론에서 사용되는 수학적 개념으로, 대수적 수체의 정수환의 아이디얼(ideal)을 대표하는 대수적 정수를 가리킨다. 독일의 수학자 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)가 1844년경에 처음 도입한 개념으로, 현대 대수학의 아이디얼 개념이 정립되기 이전 단계에서 수론적 문제를 해결하기 위해 고안되었다.
이상수 개념이 등장하게 된 배경은 원분체(cyclotomic field)에서의 소인수분해의 유일성이 성립하지 않는 문제와 관련이 있다. 일반적인 정수에서는 소인수분해가 유일하게 성립하지만, 대수적 수체의 정수환에서는 유일 인수분해가 항상 성립하지 않는다. 쿠머는 이러한 비유일성 문제를 해결하기 위해, 실제로 존재하지 않는 "이상적인" 소수를 가정하여 인수분해를 다시 가능하게 하는 방법을 모색하였다. 이 과정에서 개발된 것이 이상수 개념이다.
쿠머가 이상수 개념을 연구하게 된 동기에 대해서는 여러 견해가 존재한다. 일반적으로 페르마의 마지막 정리를 증명하려는 과정에서 이 개념이 개발된 것으로 널리 알려져 있으나, 일부 학자들은 쿠머의 주된 관심이 고차 상반법칙(higher reciprocity law) 연구에 있었다고 주장하기도 한다. 하워드 에드워즈(Howard Edwards)는 쿠머의 연구 동기가 주로 페르마의 마지막 정리에 있었다는 통념이 잘못된 것일 가능성이 있다고 지적한 바 있다.
이상수 개념은 이후 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)와 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)에 의해 일반화·발전되었다. 데데킨트는 이를 바탕으로 환론의 아이디얼 이론을 창시하였고, 이는 추상대수학의 기초가 되었다. 크로네커는 형식론과 약수론을 발전시켜 대수기하학의 주요 도구로 이어졌다. 따라서 이상수는 고전적 수론 개념에서 현대 대수학의 아이디얼 이론으로 이어지는 중요한 교량적 역할을 수행한 개념으로 평가된다.
현대 수학의 관점에서는 이상수는 힐베르트 체급체(Hilbert class field)의 정수환의 원소로서 해석되며, 비주 아이디얼(non-principal ideal)을 나타내는 구체적인 대수적 정수로 이해된다.
