음함수와 양함수는 실수값 함수에서 함수값이 전부 음수이거나 전부 양수인 경우를 각각 지칭하는 용어이다. 수학·공학·통계학 등에서 함수의 부호 특성을 구분할 때 사용된다.
정의
- 양함수(正函數, positive function)
정의역 $D\subset\mathbb{R}$ 에 대해 함수 $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ 가
$$ \forall x\in D,; f(x) > 0 $$
를 만족하면 $f$ 를 양함수라 한다. - 음함수(負函數, negative function)
정의역 $D\subset\mathbb{R}$ 에 대해 함수 $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ 가
$$ \forall x\in D,; f(x) < 0 $$
를 만족하면 $f$ 를 음함수라 한다.
양함수·음함수는 “비음함수(≥0)”, “비양함수(≤0)”와 구분된다. 전자는 함수값이 0을 포함해 양수인 경우, 후자는 0을 포함해 음수인 경우를 의미한다.
주요 성질
| 성질 | 양함수 $f$ | 음함수 $g$ |
|---|---|---|
| 스칼라 곱 | 양수 $c>0$에 대해 $cf$ 역시 양함수 | 양수 $c>0$에 대해 $cg$ 역시 음함수 |
| 덧셈 | 두 양함수의 합은 양함수 | 두 음함수의 합은 음함수 |
| 곱셈 | 두 양함수의 곱은 양함수 | 두 음함수의 곱은 양함수 (음수·음수 = 양수) |
| 역함수 | $f$가 양함수이면 $1/f$도 양함수 | $g$가 음함수이면 $1/g$도 음함수 |
| 합성 | 양함수와 양함수의 합성은 양함수 | 음함수와 음함수의 합성은 양함수(예: $g\circ g$는 양함수) |
예시
| 함수 | 정의역 | 부호 | 비고 |
|---|---|---|---|
| $f(x)=e^{x}$ | $\mathbb{R}$ | 양수 | 항상 $>0$ |
| $f(x)=\sin x + 2$ | $\mathbb{R}$ | 양수 | 최소값 1 |
| $g(x)=-\ln(x+1)$ | $(0,\infty)$ | 음수 | 로그함수에 음수 부호 |
| $g(x)=-e^{-x}$ | $\mathbb{R}$ | 음수 | 지수함수에 음수 부호 |
활용 분야
- 미분·적분 – 양함수·음함수의 부호는 함수의 증가·감소, 극값 존재 여부 판단에 활용된다.
- 경제학 – 비용·수익 함수가 양수(비용) 혹은 음수(이익) 형태로 모델링될 때 구분한다.
- 통계학·확률 – 확률밀도함수는 항상 비음함수($\ge0$)이며, 양함수인지 여부는 정규화 조건에 따라 판단한다.
- 물리학 – 전위·전류 등 물리량이 특정 구간에서 일정 부호를 유지해야 할 때 양·음함수 개념이 쓰인다.
관련 개념
- 비음함수(Non‑negative function) – $f(x)\ge0$ 인 함수.
- 비양함수(Non‑positive function) – $f(x)\le0$ 인 함수.
- 절대값 함수 – 모든 실수값을 양함수(또는 0)로 변환한다.
- 부호 함수(sign function, sgn) – 입력값의 부호를 $-1,0,1$ 중 하나로 반환한다.
참고
- 대부분의 수학 교과서·전공 서적에서 “양함수”, “음함수”라는 용어가 정의되고 이용된다.
- 국제 표준화된 용어는 “positive function”, “negative function”이며, 한국어 문맥에서는 위와 같이 번역한다.
본 항목은 기존 수학·과학 분야에서 사용되는 일반적인 정의와 성질을 기반으로 작성되었으며, 특정 전문 분야에서 추가적인 제약이나 변형이 존재할 수 있다.