수학에서 양함수(explicit function)란 종속변수와 독립변수가 분리된 형태로 표현된 함수를 말한다. 독립변수가 하나일 경우 양함수는 일반적으로 $y=f(x)$의 꼴로 나타난다. 반면 음함수(implicit function)는 종속변수가 독립변수와 분리되지 않고 하나의 관계식으로 주어진 함수를 말하며, 독립변수가 하나일 경우 $P(x,y)=0$의 꼴로 표현된다.
음함수를 종속변수에 대해 정리하여 양함수로 만들 수 있는 경우도 있지만, 그렇지 못한 경우도 있다. 이 경우 다가함수(multivalued function)가 되는데, 이는 엄밀한 함수의 정의에서 벗어나므로 함수가 아니지만 함수처럼 취급하면 편리한 경우가 많아 통상적으로 '함수'라는 용어를 사용한다.
예를 들어 $2x-y-1=0$은 음함수이며, 이를 $y$에 대해 정리하면 $y=2x-1$이라는 양함수가 된다. 기본적으로 음함수로 표현된 모든 일차함수는 양함수로 표현 가능하다. 한편 $x^2+y^2=1$은 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원을 나타내는 음함수인데, 하나의 독립변수에 대해 두 개의 종속변수가 할당되므로 이 식 자체는 함수가 아니다. 본질적으로 이 식은 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$라는 두 개의 양함수를 합친 것으로 볼 수 있다.
음함수와 양함수의 관계를 설명하는 중요한 정리로 음함수 정리(implicit function theorem)가 있다. 이 정리는 특정 조건을 만족하는 음함수는 국지적으로 양함수로 바꿀 수 있다는 것을 보장한다.
미적분학에서 음함수의 미분(implicit differentiation)이란 연쇄법칙(chain rule)을 이용한 미분법을 말한다. 음함수를 양함수로 바꾸지 않고 그대로 양변을 미분한 다음 $\frac{dy}{dx}$를 계산하는 방식이다. 이 결과는 양함수로 바꾼 후 통상적인 미분을 시행한 결과와 같지만, 경우에 따라 계산이 더 수월하다는 장점이 있다. 예를 들어 단위원의 방정식 $x^2+y^2=1$의 양변을 미분하면 $2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0$이 되고, 이를 정리하면 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$를 얻는다. 여기서 $y^2$을 미분할 때 연쇄법칙이 사용된다.
음함수와 양함수의 개념은 미적분학, 해석학, 경제학(한계대체율 등)을 비롯한 여러 수학 및 응용 분야에서 널리 활용되는 기초적인 개념이다.
