은 비율(銀比率, Silver ratio)은 수학에서 정의된 무리수 상수로, 그 값은 1 + √2이며 약 2.4142135623이다. 백은비(白銀比)라고도 부른다. 이는 황금비(黃金比, Golden ratio)와 유사한 방식으로 정의되는 비율로, 수학적 구조와 기하학적 성질이 잘 알려져 있다.
수학적 정의
은 비율은 다음 관계식을 만족하는 두 양 a, b의 비율로 정의된다.
- (2a + b) / a = a / b
이를 정리하면 δ_S = 1 + √2가 도출된다. 즉, 큰 수 a와 작은 수 b에 대해, a의 두 배에 b를 더한 값과 a의 비율이 a와 b의 비율과 같을 때의 값이 은 비율이다.
연분수 표현
은 비율은 다음과 같은 연분수 형태로도 표현할 수 있다.
δ_S = 2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + ... )))
수학적 성질
- 은 비율은 펠 수열(Pell sequence)의 극한값과 일치한다. 이는 황금비가 피보나치 수열의 극한값인 것과 대응된다.
- 은 비율은 √2(2의 제곱근)와 밀접한 관련이 있다.
- 은 비율을 만족하는 직사각형(백은비 직사각형)은 정팔각형의 기하학적 구조에서 발견된다.
황금비와의 비교
황금비는 (a + b) / a = a / b = φ (≈ 1.618)로 정의되는 반면, 은 비율은 (2a + b) / a = a / b = δ_S (≈ 2.414)로 정의된다. 두 비율 모두 고대 그리스 시대부터 수학자들에 의해 연구된 상수이며, 정사각수이면서 삼각수인 사각 삼각수, 팔각형 등의 문제와 연결된다.
활용
은 비율은 수론, 대수학, 기하학 등 순수 수학 분야에서 주로 다루어지며, 건축이나 디자인에서의 실제 응용은 황금비에 비해 상대적으로 덜 알려져 있다. 다만 √2와 관련된 비율로서 종이 규격(A4 등)의 가로세로 비율(1:√2)과도 연관성이 있다.
