개요
유효 작용(有效作用, effective action)은 양자장론에서 고전적인 작용(classical action)에 양자역학적 효과를 고려하여 수정한 물리량이다. 고전적인 작용이 고전적 장(classical field)의 범함수인 데 반해, 유효 작용은 양자론적 장의 진공 기댓값(vacuum expectation value)의 범함수이며, 대개 기호 Γ[φ_cl]로 나타낸다.
개념적 의의
고전역학에서는 운동 방정식을 최소 작용 원리(minimum action principle)를 통해 구한다. 그러나 양자론에서는 최소 작용 원리가 경로 적분을 근사하는 도구에 불과하다. 고전적 작용을 유효 작용으로 대체하면, 유효 작용에 최소 작용 원리를 적용하여 진공 기댓값의 운동 방정식을 정확히 계산할 수 있다. 즉, 유효 작용은 양자 요동(quantum fluctuation)의 효과를 고전적 작용의 형태로 흡수하여, 양자론적 계산을 고전적인 계산 방식과 유사한 형태로 수행할 수 있게 해 주는 역할을 한다.
정의
샘마당(source field) J에 대한 분배 함수(partition function)
Z[J] = ∫ Dφ exp(iS[φ] + i⟨J,φ⟩)
를 고려한다. 여기서 에너지 범함수 E[J]는
E[J] = i log Z[J]
로 정의되는데, 이는 통계역학에서의 자유 에너지(free energy)에 해당하는 값이다.
장 φ의 진공 기댓값 φ_cl = ⟨φ⟩은 에너지 범함수의 도함수로 표현된다. 이 관계를 역으로 이용하여 J를 φ_cl의 범함수로 간주하고, 이를 바탕으로 르장드르 변환(Legendre transform)을 수행하면 유효 작용 Γ[φ_cl]이 얻어진다.
만약 진공이 병진 불변이라면, 유효 작용을 장의 일반 함수인 유효 퍼텐셜(effective potential) V(φ_cl)로 나타낼 수 있다.
성질
유효 작용은 연결 상관 함수(connected correlation function)의 생성 함수인 에너지 범함수에 대응하여, 1점 기약(one-point irreducible) 상관 함수의 모함수(generating functional)로서의 성질을 갖는다. 유효 작용의 n계 미분항은 n점 기약 상관 함수와 일치한다.
유효 작용의 1계 미분항은 −J(x)와 같으며, 2계 미분항은 2점 연결 상관 함수의 역과 관련된다. 일반적으로 n점 연결 상관 함수는 2점 연결 상관 함수를 선분으로, 3점 이상의 기약 상관 함수를 꼭짓점으로 갖는 나무 수준(tree level) 파인만 도형의 합으로 분해된다. 이는 양자론적 계산으로 얻은 물리 결과가 유효 작용을 이용한 고전적 나무 수준 계산과 일치함을 의미한다.
또한, 유효 작용은 섭동 이론을 통해 계산할 수 있다. 플랑크 상수 ℏ에 대한 건드림 전개(perturbative expansion)에서 0차항은 평균장 근사(mean field approximation), 1차항은 1-고리 근사(one-loop approximation)에 해당한다. 유효 작용의 ℏ에 대한 L차 항은 L개의 고리를 가진 파인만 도형의 합과 동등한 관계를 갖는다.
활용
유효 작용은 양자장론의 여러 분야에서 사용된다. 대표적으로 다음과 같은 용도가 있다.
- 진공의 성질과 대칭성의 자발적 깨짐(spontaneous symmetry breaking) 분석
- 유효 퍼텐셜을 통한 상전이(phase transition) 연구
- 유효 이론(effective field theory)의 구성
- 재규격화(renormalization)된 상호작용을 분석하는 도구
참고 문헌
- J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962)
- G. Jona-Lasinio, Nuovo Cimento 34, 1790 (1964)
- S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields Vol. II, Cambridge University Press (1996)
- D. J. Toms, The Schwinger Action Principle and Effective Action, Cambridge University Press (2007)
- H. Kleinert, Particles and Quantum Fields, World Scientific (2016)
