유클리드 공간은 고대 그리스 수학자 유클리드가 《원론》에서 공리적으로 정리한 기하학, 즉 유클리드 기하학의 공리를 만족하는 공간을 말한다. 현대 수학에서는 거리와 각도 개념이 정의되어 있고, 평행선 공리를 포함한 유클리드 기하학의 공리계가 성립하는 리만 다양체 또는 내적 공간으로 정의된다.
정의 및 특징
- 차원: 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 또는 $E^n$을 정의할 수 있다. 1차원은 직선, 2차원은 평면, 3차원은 우리가 경험하는 물리적 공간에 대응한다.
- 내적과 거리: $\mathbb{R}^n$ 위에 표준 내적 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$가 정의되며, 이에 유도되는 노름 $|\mathbf{x}| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}$과 거리 $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$를 통해 기하학적 구조를 갖는다.
- 평탄성: 곡률 텐서가 0인 평탄한 리만 다양체이다. 즉, 가우스 곡률이 모든 점에서 0이다.
- 평행선 공리: 한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선이 주어졌을 때, 그 점을 지나는 직선 중 주어진 직선과 평행인 직선은 오직 하나만 존재한다.
수리적 구조
- 위상 공간: 유클리드 거리에 의한 위상(표준 위상)을 가지며, 하우스도르프 공간이자 완비 거리 공간이다.
- 벡터 공간: $\mathbb{R}^n$은 실수체를 스칼라로 하는 $n$차원 벡터 공간과 동일시되나, 유클리드 공간은 원점의 개념이 고정되지 않은 어핀 공간(Affine space)으로서의 성격을 강조하기도 한다.
- 등거리 변환: 유클리드 공간의 자기 위 전단사로서 거리를 보존하는 변환은 직교 변환과 평행 이동의 합성으로 표현되며, 이들은 유클리드 군 $E(n)$을 이룬다.
일반화 및 관련 개념
- 비유클리드 기하학: 평행선 공리를 부정하거나 수정하여 구면 기하학(타원 기하학), 쌍곡 기하학 등이 유도되었다.
- 리만 다양체: 유클리드 공간을 국소적으로 근사하는 매끄러운 다양체에 리만 계량을 부여한 것으로, 중력장 등 물리 이론의 배경 공간으로 쓰인다.
- 힐베르트 공간: 유한 차원 유클리드 공간의 개념을 무한 차원으로 확장한 완비 내적 공간이다.
응용 고전 역학, 전자기학, 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝(특징 공간), 최적화 이론 등 수학과 자연과학, 공학 전반에서 기초적인 좌표계 및 모델링 도구로 사용된다.
