유사 미분 연산자(pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 조화해석학에서 다루어지는 수학적 개념으로, 미분 연산자와 매끄러운 함수의 곱셈 연산을 공통적으로 일반화한 선형 연산자이다. 푸리에 변환을 이용하여 정의되며, 위치 변수 x와 운동량 변수 ξ에 동시에 의존하는 매끄러운 함수(표상, symbol)를 푸리에 변환 공간에서 곱한 뒤 다시 역변환하는 방식으로 작용한다.
정의
유클리드 공간 ℝⁿ 위에서, 유사 미분 연산자 P(x, D)는 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 공간 C₀ᵅ(ℝⁿ)에서 매끄러운 함수의 공간 Cᅡ(ℝⁿ)으로 작용하는 선형 변환으로 다음과 같이 정의된다.
P(x, D)u(x) = (1/(2π)ⁿ) ∫ exp(ix·ξ) P̃(x, ξ) û(ξ) dⁿξ
여기서 û(ξ)는 함수 u의 푸리에 변환이고, P̃(x, ξ)는 매끄러운 함수로 이 연산자의 표상(symbol)이라고 불린다. 표상 P̃(x, ξ)가 모든 다중지표 α, β에 대하여 특정 성장 조건을 만족시킬 때, 해당 연산자는 m차 유사 미분 연산자로 분류되며, 그 표상들의 집합은 Sᵐ으로 표기된다. m차 유사 미분 연산자들의 집합은 ΨDOᵐ(ℝⁿ)으로 쓴다.
표상의 개념이 콤팩트 지지를 가질 경우, 유사 미분 연산자는 분포(distribution) 공간 위로 자연스럽게 확장되어 작용할 수 있다. 또한 좌표 변환에 대하여 유사 미분 연산자의 성질이 보존되므로, 매끄러운 다양체 위에서도 국소 좌표계를 이어 붙이는 방식으로 유사 미분 연산자를 정의할 수 있다.
고전 유사 미분 연산자
표상이 특정 동차 함수들의 점근적 전개(asymptotic expansion)로 표현될 수 있는 경우, 해당 연산자를 고전 유사 미분 연산자(classical pseudodifferential operator)라고 하며, 그 집합은 ΨDO_clᵐ으로 표기한다. 고전 유사 미분 연산자는 편미분방정식 이론에서 특히 중요한 역할을 한다.
예시
임의의 미분 연산자 ∑ c_α ∂_x^α는 그 표상을 P̃(ξ) = ∑ c_α ξ^α로 두어 유사 미분 연산자로 나타낼 수 있다. 또한 임의의 매끄러운 함수 f(x)에 의한 곱셈 연산자도 표상이 f(x)인 유사 미분 연산자로 표현된다. 이로써 유사 미분 연산자는 미분 연산자와 함수 곱셈 연산자를 모두 포함하는 일반화된 개념임을 알 수 있다.
역사
유사 미분 연산자 이론은 1960년대에 조지프 존 콘(Joseph John Kohn), 루이스 니런버그(Louis Nirenberg), 라르스 회르만데르(Lars Hörmander) 등에 의해 개발되었다. 이 개념은 이후 아티야-싱어 지표 정리(Atiyah–Singer index theorem)의 증명에 중요한 도구로 활용되었다. 현재 유사 미분 연산자는 편미분방정식 이론, 미소 국소 해석(microlocal analysis), 양자장론 등 다양한 수학 및 물리학 분야에서 광범위하게 사용되고 있다.
