정의
유리함수(英: rational function)는 두 다항식 $P(x)$와 $Q(x)$에 대하여 $Q(x)
eq 0$인 경우에 정의되는 함수
$$ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} $$
를 말한다. 여기서 $P(x), Q(x)$는 실수계수 혹은 복소수계수를 가질 수 있으며, $Q(x)$가 영이 되는 점에서는 함수가 정의되지 않는다.
성질
- 정의역
$f(x)$의 정의역은 ${x \in \mathbb{R}\mid Q(x) eq0}$ (또는 복소수의 경우 ${z\in\mathbb{C}\mid Q(z) eq0}$)이다. - 연속성
정의역 내에서는 다항식의 비이므로 연속이며, $Q(x)=0$인 점에서는 불연속(특이점)이 발생한다. - 극점과 영점
- 영점(zero): $P(x)=0$이면서 $Q(x) eq0$인 점.
- 극점(pole): $Q(x)=0$이면서 $P(x) eq0$인 점.
- 부분분수 전개
차수가 높은 경우, 다항식 나눗셈을 통해 다항식 부분과 부분분수 형태로 분해할 수 있다. 이는 적분이나 역함수 해석에 활용된다. - 대수적 구조
유리함수들의 집합은 덧셈·뺄셈·곱·나눗셈(단, 나눗셈의 경우 분모가 영이 아닌 경우) 연산에 대해 체(field)를 이룬다.
예시
- $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ : 정의역은 $\mathbb{R}\setminus{1}$이며, $x=1$에서 극점을 가진다.
- $g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}$ : 정의역은 $\mathbb{R}\setminus{-2,2}$.
관련 개념
- 다항식: 유리함수의 분자와 분모를 이루는 함수.
- 유리수: 정수의 비(분수) 형태를 의미하는 개념과는 별도로, 유리함수는 변수에 대한 다항식 비이다.
- 복소유리함수: 변수와 계수가 복소수인 경우의 유리함수.
- 대수함수: 다항식 방정식으로 정의되는 함수와 달리, 유리함수는 다항식의 비로 직접 표현된다.
역사 및 어원
‘유리(有理)’는 ‘비(分數)’와 같은 의미로, ‘분수 형태로 표현될 수 있다’는 뜻을 갖는다. ‘함수’는 영어 “function”을 차용한 용어이다. 따라서 ‘유리함수’는 “분수 형태의 함수”라는 의미를 가진다.
응용
유리함수는 대수학, 미적분학, 복소해석학 등에서 중요한 역할을 한다. 특히, 부분분수 전개는 적분 계산에 널리 사용되며, 제어 이론·전기 회로·신호 처리 등 공학 분야에서도 전송 함수 형태로 나타난다.
참고
- 고등학교 및 대학 교과서의 ‘대수함수’·‘유리함수’ 장.
- 표준 수학 교재(예: Stewart, Calculus)에서 부분분수와 극점에 관한 내용.