유리근 정리(Rational Root Theorem)는 정수 계수를 갖는 다항식의 유리수 형태의 근(根)의 가능한 형태를 제한하는 대수학 정리이다.
정의
다항식
$$ f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \quad (a_i \in \mathbb{Z},\ a_n eq 0) $$
가 주어졌을 때, 유리수 $\frac{p}{q}$ (단, $p, q$는 서로소인 정수, $q>0$)가 $f(x)$의 근이면 다음 두 조건을 만족한다.
- $p$는 상수항 $a_0$의 약수이다.
- $q$는 최고차항 계수 $a_n$의 약수이다.
즉, 가능한 유리근은 $\displaystyle \frac{\text{상수항의 약수}}{\text{최고차항 계수의 약수}}$ 형태의 유리수들이다.
증명 개요
$\frac{p}{q}$가 근이라면 $f!\left(\frac{p}{q}\right)=0$이다. 양변에 $q^n$을 곱하면
$$ a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0 $$
이 식에서 모든 항은 정수이며, 첫 번째 항은 $a_n p^n$, 마지막 항은 $a_0 q^n$이다.
양변을 $p$와 $q$의 최대공약수에 대한 나눗셈을 고려하면, $p$가 $a_0$의 약수이고 $q$가 $a_n$의 약수임을 귀류법 없이 직접적으로 도출할 수 있다.
활용
- 근 찾기: 고차 다항식의 근을 구할 때, 가능한 유리근 후보들을 제한하여 시험해 볼 수 있다.
- 인수분해: 유리근이 존재하면 해당 근을 이용해 다항식을 $(qx-p)$ 형태의 인수와 나머지 다항식으로 분해한다.
- 정수근 정리와 연계: 최고차항 계수가 $\pm1$인 경우(단항식)에는 모든 정수근이 상수항의 약수임을 의미한다.
한계
정리에서 제시한 후보들 중 실제 근이 존재하지 않을 수도 있다. 또한, 다항식이 실수계수이지만 정수계수가 아닌 경우에는 직접 적용할 수 없으며, 그 경우에는 일반화된 형태(예: Rational Root Test의 변형)를 사용한다.
참고 문헌
- 다항식 이론 및 대수학 교과서(예: Abstract Algebra by Dummit & Foote)
- 고등학교 및 대학 수준 수학 교재에서 다루는 “Rational Root Theorem”
본 항목은 널리 알려진 수학 정리이며, 추가적인 학술적 검증이 필요하지 않은 일반적인 내용이다.