수학적 정의
수학에서 '유계'는 주로 집합, 함수, 수열 등의 대상이 특정 상한(upper bound)과 하한(lower bound)을 가지는 상태를 의미한다.
집합의 유계성
실수 집합 $\mathbb{R}$의 부분 집합 $S$에 대해:
- 위로 유계(위로 상계, bounded above): 모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$을 만족하는 실수 $M$이 존재할 때, $M$을 $S$의 상계(upper bound)라고 한다.
- 아래로 유계(아래로 상계, bounded below): 모든 $x \in S$에 대해 $x \ge m$을 만족하는 실수 $m$이 존재할 때, $m$을 $S$의 하계(lower bound)라고 한다.
- 유계(bounded): 집합 $S$가 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계일 때, $S$는 유계라고 한다. 즉, 모든 $x \in S$에 대해 $m \le x \le M$을 만족하는 두 실수 $m, M$이 존재하거나, 또는 $|x| \le K$를 만족하는 양수 $K$가 존재할 때 유계이다.
함수의 유계성
함수 $f: D \to \mathbb{R}$에 대해:
- 위로 유계: 모든 $x \in D$에 대해 $f(x) \le M$을 만족하는 실수 $M$이 존재할 때.
- 아래로 유계: 모든 $x \in D$에 대해 $f(x) \ge m$을 만족하는 실수 $m$이 존재할 때.
- 유계: 함수 $f$가 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계일 때. 즉, 모든 $x \in D$에 대해 $|f(x)| \le K$를 만족하는 양수 $K$가 존재할 때. 이는 함수의 치역이 유계 집합이라는 의미와 같다.
수열의 유계성
수열 ${a_n}$에 대해:
- 위로 유계: 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n \le M$을 만족하는 실수 $M$이 존재할 때.
- 아래로 유계: 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n \ge m$을 만족하는 실수 $m$이 존재할 때.
- 유계: 수열 ${a_n}$이 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계일 때. 즉, 모든 자연수 $n$에 대해 $|a_n| \le K$를 만족하는 양수 $K$가 존재할 때.
예시
- 집합: 닫힌 구간 $[0, 1]$은 $0$이 하계이고 $1$이 상계이므로 유계 집합이다. 반면, 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$이나 자연수의 집합 $\mathbb{N}$은 유계가 아니다.
- 함수: 삼각함수 $\sin(x)$와 $\cos(x)$는 치역이 $[-1, 1]$이므로 유계 함수이다. 지수함수 $e^x$나 다항함수 $x^2$는 유계 함수가 아니다 (전 정의역에서).
- 수열: 수열 ${1/n}$은 $0$이 하계이고 $1$이 상계이므로 유계 수열이다. 발산하는 수열 ${n}$은 유계가 아니다.
중요성
유계 개념은 수학적 분석에서 매우 중요하다. 예를 들어, 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass theorem)는 유계인 무한 집합은 적어도 하나의 극한점(limit point)을 가진다고 명시하며, 유계 수열이 반드시 수렴하는 부분 수열을 가진다는 것을 보장한다. 또한, 수렴하는 모든 수열은 유계이다. (역은 성립하지 않음. 예: 수열 ${(-1)^n}$은 유계이지만 수렴하지 않음.)
같이 보기
- 무계 (Unbounded)
- 상한 (Supremum)
- 하한 (Infimum)
- 수렴 (Convergence)
참고 문헌
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis. John Wiley & Sons.