유계 변동 함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 실해석학에서 사용되는 수학적 개념으로, 정의역의 임의의 분할에 대해 함수값의 변화량의 총합이 유한한 함수를 말한다. 즉, 함수가 특정 구간 내에서 변화할 수 있는 전체 변동량이 제한되어 있는 함수이다.
정의
닫힌구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$에 대하여, 구간의 분할 $P = (p_0, p_1, \dots, p_{|P|})$ (단, $a = p_0 \leq p_1 \leq \cdots \leq p_{|P|} = b$)를 고려할 때, 다음의 합
$$ \sum_{i=1}^{|P|} |f(p_i) - f(p_{i-1})| $$
을 분할 $P$에 대한 변동(variation)이라고 한다. 모든 가능한 분할에 대한 변동들의 상한(최솟상계)을 전변동(total variation) $V(f)$라고 정의하며, 이 전변동이 유한할 때 $f$를 유계 변동 함수라고 한다. 즉,
$$ V(f) = \sup_{P \in \text{Part}([a,b])} \sum_{i=1}^{|P|} |f(p_i) - f(p_{i-1})| < \infty $$
동치 조건
실함수 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.
- $V(f) < \infty$ (전변동이 유한함)
- $f = g - h$를 만족하는 두 증가 함수 $g, h$가 존재함 (즉, 유계 변동 함수는 두 단조 증가 함수의 차로 표현 가능)
- 연속 함수 공간 위에 유계 작용소 $g \mapsto \int g, df$를 정의함 (르베그-스틸티어스 적분)
성질
- 연산에 대한 닫힘: 유계 변동 함수들의 합과 곱도 유계 변동 함수이다. 또한 절댓값에 양수를 더한 것의 역수도 유계 변동 함수를 이룬다.
- 포함 관계: 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수라고 반드시 유계 변동 함수인 것은 아니다.
- 미분 가능성: 유계 변동 함수는 거의 모든 점에서 미분 가능하며, 그 도함수는 르베그 적분 가능하다. (르베그 미분가능성 정리)
- 연속성: 유계 변동 함수는 가산 개의 점을 제외한 모든 점에서 연속이다.
- 분해 불가능성: 유계 변동 함수 공간 $\text{BV}([a,b], \mathbb{R})$는 분해 가능 공간(separable space)이 아니다.
예시
- 함수 $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ (단, $x=0$에서 $f(0)=0$)는 $[0,1]$에서 유계 변동 함수이다.
- 함수 $f(x) = \sin(1/x)$ (단, $x=0$에서 $f(0)=0$)는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 연속 함수이지만, 유계 변동 함수가 아니다.
- 함수 $f(x) = x \sin(1/x)$ (단, $x=0$에서 $f(0)=0$) 역시 연속 함수이지만 유계 변동 함수가 아니다.
활용
유계 변동 함수의 개념은 리만-스틸체스 적분(Riemann-Stieltjes integral)의 이론에서 핵심적인 역할을 하며, 푸리에 해석, 확률론, 변분법, 영상 처리 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 함수의 전변동(total variation)은 영상 복원 및 잡음 제거 알고리즘에서 정규화 항으로 널리 사용된다.
