정의
실수값을 갖는 함수 $f$가 정의역의 구간 $[a,b]$에서 유계 변동(bounded variation) 을 가진다고 할 때, 그 함수는 유계 변동 함수(bounded‑variation function) 라고 한다.
구체적으로, 구간 $[a,b]$에 대한 변동량(total variation) $V_a^b(f)$은
$$
V_a^b(f)=\sup_{P}\sum_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|
$$
에서 정의되며, 여기서 $P={a=x_0<x_1<\dots <x_n=b}$는 $[a,b]$의 모든 유한 분할을 의미한다.
$V_a^b(f)<\infty$이면 $f$는 $[a,b]$에서 유계 변동을 가진다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 단조함수와의 관계 | 단조 증가(또는 감소) 함수는 언제나 유계 변동이며, 변동량은 함수값의 차 $f(b)-f(a)$ (또는 $ |
| 조던 분해 정리 (Jordan decomposition) | $f$가 $[a,b]$에서 유계 변동이면, 두 단조 증가 함수 $g,h$가 존재하여 $f=g-h$ 로 쓸 수 있다. |
| 절대 연속함수와의 관계 | 절대 연속 함수는 유계 변동 함수이지만 그 역은 아니다. $\mathrm{AC}\subsetneq \mathrm{BV}$. |
| 미분 가능성 | 유계 변동 함수는 거의 모든 점에서 미분 가능하고, 미분가능한 부분에서의 미분은 $L^1$에 속한다. 또한 $f$는 측도론적 의미에서 함수의 약함수(weak derivative) 를 갖는다. |
| 점wise 한계 보존 | ${f_k}$가 $[a,b]$에서 유계 변동이고 $f_k\to f$ 가 점wise 로 수렴하면, $f$ 역시 유계 변동이며 $V_a^b(f)\le\liminf_{k\to\infty}V_a^b(f_k)$. |
| Heine‑Cantor | 유계 변동 함수는 구간 $[a,b]$에서 제한된 구간에 대하여는 균등 연속이 아니다(예: 계단 함수). 하지만 절대 연속이면 균등 연속이다. |
| BV 공간 | $\mathrm{BV}([a,b])={f\in L^1([a,b])\mid V_a^b(f)<\infty}$ 은 바나흐 공간이며, 노름 $|f|{\mathrm{BV}}:=|f|{L^1}+V_a^b(f)$ 로 완비된다. |
예시
-
단조 증가 함수
$$ f(x)=x\quad (0\le x\le 1) \quad\Rightarrow\quad V_0^1(f)=1. $$ -
계단 함수
$$ f(x)=\begin{cases} 0, & x<\tfrac12,$$4pt] 1, & x\ge \tfrac12, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad V_0^1(f)=1. $$ -
절대 연속이면서 유계 변동인 함수
$$ f(x)=\sin x\quad (0\le x\le \pi) \quad\Rightarrow\quad V_0^{\pi}(\sin x)=2. $$ -
유계 변동이지만 절대 연속이 아닌 함수
$$ f(x)=\begin{cases} 0, & x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q},\ 1, & x\in[0,1]\cap\mathbb{Q}, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad V_0^1(f)=1,; \text{하지만 절대 연속이 아니다.} $$
관련 정리 및 정리
- 조던 분해 정리: 앞서 언급한 대로, $f\in\mathrm{BV}([a,b])$이면 두 단조 증가 함수 $g,h$가 존재하여 $f=g-h$.
- Helly’s Selection Theorem: ${f_k}\subset\mathrm{BV}([a,b])$가 변동량을 일관되게 유계하면, 부분 수열이 점wise 로 수렴하는 함수 $f$를 갖는다.
- Riesz Representation: $\mathrm{BV}([a,b])$의 각 원소는 측도 $\mu_f$ 와 일대일 대응한다. 변동량은 $\mu_f$의 전체 변동(total variation)과 일치한다.
응용 분야
- 신호·영상 처리: 총 변동량을 최소화하는 TV (Total Variation) 정규화는 잡음 제거와 에지 보존에 널리 쓰인다.
- 계량경제학·수리통계: 분포함수는 단조 증가이므로 자동적으로 유계 변동이며, 변동량은 총 확률 질량으로 해석된다.
- 미분방정식: 보존법칙과 같은 변분 형태의 해석에서, 해가 $\mathrm{BV}$에 속하면 약해도(weak) 의미에서 존재성을 보장한다.
- 기하학적 측정 이론: 곡선의 길이, 표면적 등은 변동량과 직접적인 연결이 있다.
참고문헌
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 2010 – BV 함수와 총 변동량에 관한 장.
- G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley, 1999 – 조던 분해와 BV 공간.
- R. A. Adams & J. J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003 – BV와 Sobolev 공간 사이의 포함 관계.
- A. Chambolle, “An Algorithm for Total Variation Minimization and Applications”, J. Math. Imaging Vision, 2004 – TV 정규화와 알고리즘.
요약
유계 변동 함수는 구간 위에서 변동량이 유한한 모든 실수값 함수를 의미한다. 단조 함수와 절대 연속 함수가 포함되며, 조던 분해, Helly 선택 정리 등 풍부한 구조와 정리를 갖는다. 이러한 특성 때문에 해석학, 변분법, 신호 처리 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.