위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, 영어: homeomorphism)은 두 위상 공간 사이의 함수로서, 위상수학적 성질을 양방향으로 보존하는 함수를 의미한다. 두 위상 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 두 공간은 서로 위상동형(位相同型, 영어: homeomorphic)이라고 하며, 위상수학적 관점에서 이 둘은 본질적으로 같은 공간으로 간주된다.
정의
위상 공간 $(X, T_X)$와 $(Y, T_Y)$가 주어져 있고, $f: X \to Y$를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 함수 $f$가 다음 세 조건을 모두 만족하면 $f$를 위상동형사상이라 한다.
- $f$는 전단사 함수(일대일 대응)이다.
- $f$는 연속 함수이다.
- 역함수 $f^{-1}$도 연속 함수이다.
즉, 위상동형사상은 연속이면서 역함수도 연속인 전단사 함수이다. 이때 역함수의 연속성 조건이 핵심적인데, 단순히 연속인 전단사 함수만으로는 위상동형사상이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어 $f(\phi) = (\cos\phi, \sin\phi)$로 정의된 함수 $f: [0, 2\pi) \to S^1$은 전단사이고 연속이지만, 역함수가 연속이 아니므로 위상동형사상이 아니다.
성질
위상동형사상의 가장 중요한 성질은 위상적 성질(topological property)을 보존한다는 점이다. 즉, 두 위상동형인 공간은 다음과 같은 위상적 성질을 공유한다.
- 한쪽이 콤팩트 공간이면 다른 쪽도 콤팩트 공간이다.
- 한쪽이 연결 공간이면 다른 쪽도 연결 공간이다.
- 한쪽이 하우스도르프 공간이면 다른 쪽도 하우스도르프 공간이다.
- 위상동형사상은 열린 사상(open mapping)이면서 동시에 닫힌 사상(closed mapping)이다.
예시
- 유클리드 평면 $\mathbb{R}^2$에서 단위원과 정사각형은 위상동형이다.
- 열린구간 $(-1, 1)$과 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$은 위상동형이다. 예를 들어 $f(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)$와 같은 함수가 위상동형사상이 된다.
- 두 원의 곱공간인 $S^1 \times S^1$과 2차원 원환면(torus)은 위상동형이다.
- $n eq m$일 때, $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{R}^m$은 위상동형이 아니다.
- 구(sphere)와 원환면(torus)은 서로 위상동형이 아니다.
- 직관적인 예시로, 커피잔과 도넛(토러스)은 위상동형이다. 이는 하나의 구멍을 가진 구조라는 점에서 위상적으로 동일하기 때문이다.
관련 개념
위상동형사상은 위상 공간의 범주(category)에서 동형사상(isomorphism)에 해당한다. 이와 유사한 개념으로 미분동형사상(diffeomorphism, 미분 가능한 역함수를 갖는 미분 가능한 전단사 함수)과 등거리 변환(isometry, 거리를 보존하는 변환)이 있으며, 이들은 각각 더 세부적인 구조(미분 구조, 거리 구조)를 보존한다.
