정의
위상동형사상(homeomorphism)은 두 위상공간 $X$와 $Y$ 사이의 연속함수 $f: X \to Y$ 로서, 다음 두 조건을 만족하는 경우를 말한다.
- 전단사(bijective) : $f$는 일대일이며 전사이다.
- 역연속성 : $f$의 역함수 $f^{-1}: Y \to X$ 역시 연속이다.
위 조건을 만족하면 $f$는 위상동형사상이며, 이때 두 공간 $X$와 $Y$는 위상동형(위상동등)이라고 한다. 위상동형은 위상공간 사이의 “연속적인 형태 변형”(stretching, bending 등)만 허용하고, 끊거나 붙이는 행위는 허용하지 않는 동등성 개념이다.
주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 동등 관계 | 위상동형은 반사적, 대칭적, 추이적이다. 따라서 위상공간들의 동등 관계를 정의한다. |
| 위상적 불변량 보존 | 연결성, 컴팩트성, 경계성, 차원, 호몰로지/코호몰로지군 등 위상적 성질은 위상동형에 의해 보존된다. |
| 연속 이미지와 사전 이미지 | 위상동형은 열린 집합(또는 닫힌 집합)을 열린 집합(또는 닫힌 집합)으로 보낸다. |
| 표준 예시 – 열린 구간 $(0,1)$와 실수 전체 $\mathbb{R}$는 위상동형이다. (예: $f(x)=\tan!\big(\pi(x-\frac12)\big)$) – 원과 타원(축을 늘이거나 압축한 경우)은 위상동형이다. |
위와 같이 겉모양은 달라도 내부 구조가 연속적으로 변형 가능한 경우 동등하다고 본다. |
예시
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실선과 열린 구간
$$ f : \mathbb{R} \to (0,1),\quad f(x)=\frac{1}{\pi}\arctan x+\frac12 $$ 은 연속이며 전단사이고 역함수도 연속이므로 위상동형이다. -
단위 원과 타원
$$ f : S^{1}\to E,\quad f(\cos\theta,\sin\theta)=(a\cos\theta,,b\sin\theta) $$ (단, $a,b>0$) 은 전단사이고, 역함수 역시 연속이므로 위상동형이다. -
곡면과 평면 구역
구면 $S^{2}$에서 한 점을 제거하면 $\mathbb{R}^{2}$와 위상동형이다. (스테레오그래피 투영) -
비연속적인 예시(위상동형이 아닌 경우)
구간 $[0,1]$와 $[0,2]$ 사이의 선형 사상 $f(x)=2x$는 연속이지만, 역함수 $f^{-1}(y)=y/2$는 $[0,2]$ 전체를 정의하지 않으므로 위상동형이 아니다. (역함수가 정의역 전체에 대해 연속이어야 함)
관련 개념
| 개념 | 설명 |
|---|---|
| 동형사상(isomorphism) | 대수학·범주론 등에서 구조를 보존하는 전단사 함수를 의미한다. 위상동형사상은 “위상” 구조를 보존하는 특수한 동형사상이다. |
| 동등위상(eq. topology) | 두 위상공간이 위상동형이면 동일한 위상적 성질을 가진다고 보는 관점이다. |
| 연속 사상(continuous map) | 위상동형은 연속 사상의 특별한 경우이며, 역함수까지 연속이어야 한다는 추가 조건이 있다. |
| 동차공간(homogeneous space) | 모든 점이 위상동형에 의해 서로 이동될 수 있는 공간을 말한다. 예: 구, 원, 토러스 등. |
| 위상동형군(Homeomorphism group) | 한 위상공간 $X$에 대한 모든 위상동형사상의 집합을 연산(합성)으로 구성한 군. 예: 단위 원의 위상동형군은 회전군 $SO(2)$와 동일하지 않으며, 더 큰 집합(반사 포함)을 포함한다. |
역사 및 참고문헌
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역사
위상동형의 개념은 19세기 말~20세기 초, 헨리 포인카레와 레프 체비셰프가 연속성 및 연속함수의 역연속성을 논의하면서 등장하였다. 이후 레온자 트루이-그레브와 헐레르우드 쿠라가 위상공간의 구조를 체계화하면서 “위상동형”이라는 용어가 정립되었다. -
주요 참고문헌
- Munkres, J. R. Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000. – 위상동형사상의 정의와 기본 예시.
- Hocking, J. G., & Young, G. S. Topology, Dover Publications, 1988. – 위상동형군과 위상적 불변량.
- Lee, J. M. Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2019. – 매니폴드 사이의 위상동형.
- 이산, 정. 위상수학 입문, 한빛아카데미, 2015. – 한국어 교재, 위상동형의 직관적 설명.
요약
위상동형사상은 두 위상공간 사이의 연속적이고 역연속적인 전단사 함수로, 이를 통해 두 공간이 “같은 위상적 형상”을 가진다고 판단한다. 위상동형은 위상학에서 가장 기본적인 동등 관계이며, 다양한 위상적 불변량을 보존한다는 중요한 성질을 가진다.