위너 공간(Wiener空間, 영어: Wiener space) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 영어: abstract Wiener space)은 확률론에서 사용되는 수학적 개념으로, 일종의 "정규 분포"에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.
개요
일반적으로 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 "측도"는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 얻은 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 가리킨다.
정의
위너 공간의 개념은 두 가지 방식으로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
-
푸리에 변환을 통한 정의: 분해 가능 실수 바나흐 공간 $E$, 그 위의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 $\mu$, 분해 가능 실수 힐베르트 공간 $H$, 그리고 단사 연속 실수 선형 변환 $\iota: H \hookrightarrow E$가 주어졌을 때, 특정 푸리에 변환 조건을 만족하면 $(E, \mu, H)$를 위너 공간이라고 한다.
-
구체적 정의: 분해 가능 실수 힐베르트 공간 $H$ 위에 정의된 기둥 집합 측도(cylinder-set measure)와 가측 노름(measurable norm) 개념을 이용하여, $H$의 완비화인 바나흐 공간 $E$ 위에 확률 측도를 구성함으로써 위너 공간을 정의할 수 있다.
성질
- 임의의 분해 가능 바나흐 공간 $E$에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 $(\mu, H)$가 적어도 하나 이상 존재한다.
- 페일리-위너 적분(Paley–Wiener integral): 위너 공간 위에서 정의되는 등거리 변환인 선형 변환 $I: H \to L^2(E, \mu; \mathbb{R})$이 존재하며, 이를 통해 정의되는 적분을 페일리-위너 적분이라고 한다.
- 캐머런-마틴 정리(Cameron–Martin theorem): 위너 공간에서 측도를 평행 이동시켰을 때의 라돈-니코딤 도함수를 구체적으로 표현하는 정리이다.
예
고전 위너 공간 (Classical Wiener space)
$C_0^0([0,T], \mathbb{R}^n) = { f \in C^0([0,T], \mathbb{R}^n) : f(0) = 0 }$ 위에 위너 과정(Wiener process, 브라운 운동)의 궤적 분포로 주어지는 확률 측도를 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간이라고 하며, 노버트 위너(Norbert Wiener)가 최초로 구성하였다.
브라운 다리 (Brownian bridge)
원 $\mathbb{S}^1 = [0,1]/(0\sim1)$ 위에서 정의된, 양 끝점이 0인 연속 주기 함수들의 공간에 브라운 다리 과정의 분포를 부여하면 위너 공간을 이룬다.
힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조
분해 가능 힐베르트 공간과 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소를 통해 정의된 위너 공간에서 $E$ 역시 힐베르트 공간을 이룬다.
역사
고전 위너 공간은 노버트 위너(Norbert Wiener)가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(Leonard Gross)가 추상적 위너 공간의 개념을 도입하였다. 페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907~1933)와 노버트 위너의 이름에서 유래하였으며, 캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(Robert Horton Cameron, 1908~1989)과 윌리엄 테드 마틴(William Ted Martin, 1911~2004)이 증명하였다.
활용
위너 공간은 무한 차원 공간 위에서의 확률론적 해석학, 말리아뱅 미적분학(Malliavin calculus), 파인만 적분(Feynman integral), 함수 공간 위의 확률 과정 연구 등 다양한 수학 및 물리학 분야에서 활용된다.
