위그너 정리(영: Wigner's theorem)는 양자역학에서 물리적 대칭 변환이 상태 사이의 전이 확률을 보존한다는 전제 하에, 그러한 변환은 힐베르트 공간상의 단위 연산자(unitary operator) 또는 반단위 연산자(anti‑unitary operator) 로 표현될 수 있음을 규정한다.
개념 및 수학적 서술
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전제
- 양자계의 순수 상태는 복소 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$의 정규화된 벡터 $|\psi\rangle$ 로 기술된다.
- 두 상태 $|\psi\rangle, |\phi\rangle$ 사이의 전이 확률은 $|\langle\psi|\phi\rangle|^{2}$ 로 정의된다.
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정리 내용
- 물리적 대칭 변환 $T$ 가 모든 상태 쌍에 대해 전이 확률을 보존한다면, $$ |\langle\psi|\phi\rangle| = |\langle T\psi|T\phi\rangle| \quad(\forall,|\psi\rangle,|\phi\rangle\in\mathcal{H}) $$
- 이때 존재하는 선형 연산자 $U$ 가 다음 중 하나의 형태를 가진다.
- 단위 연산자: $U$ 가 복소 선형이며 $U^{\dagger}U = UU^{\dagger}=I$.
- 반단위 연산자: $U$ 가 반선형(켈리 복소 공액을 포함)이며 $U^{\dagger}U = UU^{\dagger}=I$.
- 변환 $T$ 는 위 연산자 $U$ 와 동등하게 작용한다: $T|\psi\rangle = U|\psi\rangle$.
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증명 개요
- 전이 확률 보존 조건은 복소 내적의 절댓값을 보존함을 의미한다.
- 내적의 절댓값 보존 연산자는 정규 직교 변환(orthogonal transformation) 의 복소 확장 형태이며, 카시미르(Kazimir)‑클라인(Klein) 정리에 의해 단위 또는 반단위 연산자로 제한된다.
물리학적 의미
- 대칭과 보존법칙: 위그너 정리는 입자 물리학과 양자장론에서 대칭성(예: 시간 역전, 입자–반입자 변환, 회전 및 변환군)의 수학적 구현을 명확히 규정한다.
- 시간 역전 대칭: 시간 역전 연산자는 일반적으로 반단위 연산자로 나타난다(T† = T⁻¹, 복소 공액 포함).
- 양자 정보: 전이 확률 보존은 양자 채널의 암묵적 제약으로 작용하며, 위그너 정리는 가능한 양자 연산자의 범위를 제한한다.
관련 정리·용어
- 위그너-에크하트 정리(Wigner–Eckart theorem): 각운동량 연산자와 텐서 연산자의 행렬 요소를 구분하는 정리.
- 위그너 회전(Wigner rotation): 상대론적 속도 변환에서 발생하는 스핀의 효과를 기술하는 회전 변환.
참고문헌
- E. P. Wigner, Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press, 1959.
- J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison‑Wesley, 1994.
위와 같이 위그너 정리는 양자역학에서 대칭 변환의 구조적 제약을 명확히 제시하는 핵심 정리로 널리 인정받고 있다.
