월리스 공식(Wallis product, Wallis formula)은 원주율 π를 무한곱(infinite product)의 형태로 나타내는 수학 공식이다. 17세기 영국의 수학자 존 월리스(John Wallis, 1616–1703)가 1655년 저서 《무한소 산술》(Arithmetica Infinitorum)에서 처음 제시하였다. 이 공식은 다음과 같은 무한곱으로 표현된다.
$$ \frac{\pi}{2} = \prod_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1} \right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots $$
이 공식은 π를 유리수들의 무한곱으로 나타낸 역사적으로 중요한 결과로, 미적분학이 정립되기 이전 시기에 발견되었다는 점에서 수학사적 의의가 크다. 월리스는 이 공식을 유도하는 과정에서 보간법(interpolation)과 귀납적 추론을 사용하였으며, 이는 훗날 뉴턴이 이항정리를 일반화하는 데에도 영향을 주었다.
현대적인 증명은 정적분 $\int_0^{\pi} \sin^n x , dx$에 대한 점화식을 세우고, $n$이 짝수일 때와 홀수일 때의 적분값을 각각 구한 뒤, 부등식 $\sin^{2n+1}x \leq \sin^{2n}x \leq \sin^{2n-1}x$ (구간 $[0, \pi]$에서)에 샌드위치 정리(압착 정리)를 적용하여 극한을 취함으로써 이루어진다.
월리스 공식은 π의 근삿값을 계산하는 데 직접 사용되기에는 수렴 속도가 느리다는 한계가 있으나, 감마 함수의 무한곱 표현이나 스털링 근사(Stirling's approximation)의 유도 등 해석학의 여러 분야에서 이론적 토대로 활용된다. 관련된 π의 무한곱 표현으로는 비에트의 공식(Viète's formula)과 라이프니츠의 공식(Leibniz formula) 등이 있다.
