운동 에너지(kinetic energy)는 운동하는 물체 또는 입자가 가지는 에너지이다. 주어진 물체의 특정 속도에서의 운동 에너지는 그 물체를 정지 상태에서 해당 속도까지 가속시키는 데 필요한 일의 양으로 정의된다. 기호는 주로 $E_k$, $T$, 또는 $K$로 표기하며, SI 단위는 줄(J, kg·m²/s²)이다.
고전 역학에서의 정의
고전 역학에서 질량이 $m$인 비회전 물체의 속력이 $v$일 때, 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.
$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$
운동 에너지는 속력의 제곱에 비례하므로, 물체의 속력이 두 배가 되면 운동 에너지는 네 배가 된다. 또한 운동량 $p = mv$를 이용하면 $E_k = p^2 / 2m$으로 표현할 수 있다.
일-운동 에너지 정리
물체에 작용하는 알짜힘이 한 일은 그 물체의 운동 에너지 변화량과 같다. 이를 일-운동 에너지 정리(work-kinetic energy theorem)라고 하며, $W = \Delta E_k$로 나타낸다.
회전 운동 에너지
강체가 질량 중심을 통과하는 축을 중심으로 회전할 경우, 회전 운동 에너지는 다음과 같다.
$$ E_r = \frac{1}{2} I \omega^2 $$
여기서 $I$는 관성 모멘트, $\omega$는 각속도이다.
상대론적 운동 에너지
물체의 속력이 빛의 속력에 가까워지면 특수 상대성 이론을 적용해야 한다. 상대론적 운동 에너지는 다음과 같다.
$$ E_k = (\gamma - 1)mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 $$
여기서 $\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2/c^2}$는 로런츠 인자, $c$는 진공에서의 빛의 속력이다. $v \ll c$인 경우 테일러 전개를 통해 고전 역학의 $\frac{1}{2}mv^2$로 수렴한다.
양자 역학에서의 운동 에너지
양자 역학에서 운동 에너지는 연산자로 표현된다. 비상대론적 영역에서 운동 에너지 연산자는 다음과 같다.
$$ \hat{T} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} abla^2 $$
여기서 $\hat{p} = -i\hbar abla$는 운동량 연산자, $\hbar$는 디랙 상수(환산 플랑크 상수)이다.
역사
고전 역학에서 에너지가 속력의 제곱에 비례한다는 원리는 17세기 고트프리트 라이프니츠와 요한 베르누이에 의해 고안되었으며, 당시에는 'vis viva'(살아있는 힘)라고 불렸다. 네덜란드의 빌럼 야코프 그라브산트는 물체를 점토 블록에 낙하시키는 실험을 통해 관통 깊이가 충돌 속력의 제곱에 비례함을 발견하였다. 1829년 가스파르드 귀스타브 코리올리는 《Du Calcul de l'Effet des Machines》에서 운동 에너지를 수학적으로 기술하였다. '운동 에너지(kinetic energy)'라는 용어는 1849년경 윌리엄 톰슨(켈빈 경)이 처음 사용한 것으로 알려져 있다.
기준계 의존성
운동 에너지는 관찰자의 기준계에 따라 값이 달라진다. 계의 전체 운동 에너지는 운동량 중심 기준계(질량 중심이 정지한 기준계)에서 최솟값을 가지며, 이때의 운동 에너지를 계의 내부 운동 에너지라고 한다. 다른 기준계에서는 질량 중심의 운동에 해당하는 추가적인 운동 에너지가 더해진다.
에너지 전환
운동 에너지는 다른 형태의 에너지로 전환될 수 있다. 예를 들어, 운동하는 물체가 중력장에서 상승할 경우 운동 에너지는 중력 위치 에너지로 전환되며, 마찰이 작용할 경우 열 에너지로 전환된다. 탄성 충돌에서는 운동 에너지가 거의 보존되지만, 비탄성 충돌에서는 일부가 열, 소리 등의 다른 에너지 형태로 분산된다.
