외적(外積)은 수학, 특히 선형대수학과 벡터 해석에서 사용되는 용어로, 두 가지 서로 다른 개념을 가리킨다.
1. 벡터곱(가위곱, Cross Product)
3차원 유클리드 공간에서 정의되는 두 벡터 간의 이항연산으로, 연산 결과가 스칼라인 내적(dot product)과 달리 연산 결과가 벡터이다. 두 벡터 a와 b의 벡터곱은 a × b로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
a × b = n̂ |a| |b| sin θ
여기서 θ는 두 벡터 a와 b가 이루는 각, n̂은 두 벡터에 모두 수직인 단위벡터(법선벡터)이다. 결과 벡터의 방향은 오른손 법칙(right-hand rule)에 따라 결정된다. 즉, 오른손의 엄지손가락을 제외한 네 손가락을 첫 번째 벡터 a에서 두 번째 벡터 b 방향으로 감아쥘 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 a × b의 방향이다.
벡터곱의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다. 즉, |a × b| = |a| |b| sin θ 이다.
주요 성질:
- 반대칭성(anti-commutativity): a × b = - (b × a)
- 교환법칙이 성립하지 않는다.
- 스칼라곱에 대한 선형성: (αa) × b = a × (αb) = α(a × b)
- 분배법칙: a × (b + c) = a × b + a × c
- 두 벡터가 평행하면(θ = 0° 또는 180°) 벡터곱은 영벡터가 된다.
- 야코비 항등식이 성립한다.
좌표 표현:
a = [a₁, a₂, a₃], b = [b₁, b₂, b₃]일 때,
a × b = [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]
이는 행렬식을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. a × b = det $$ [i, j, k], [a₁, a₂, a₃], [b₁, b₂, b₃] $$
활용 분야: 물리학의 각운동량, 토크(돌림힘), 로런츠 힘, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘, 벡터 미분 연산인 회전(curl, ∇×)의 정의, 컴퓨터 그래픽스에서 법선벡터 계산 등 3차원 공간을 다루는 다양한 분야에서 사용된다.
2. 외적(Outer Product)
선형대수학에서 외적(outer product)은 벡터의 텐서곱(tensor product)을 일컫는 말이다. 열벡터 u ∈ ℝᵐ와 열벡터 v ∈ ℝⁿ의 외적 u ⊗ v는 u****vᵀ로 정의되며, 그 결과는 m × n 행렬이다.
예를 들어, u = [u₁, u₂, u₃, u₄]ᵀ, v = [v₁, v₂, v₃]ᵀ일 때, u ⊗ v = u****vᵀ = $$ \begin{bmatrix} u₁v₁ & u₁v₂ & u₁v₃ \ u₂v₁ & u₂v₂ & u₂v₃ \ u₃v₁ & u₃v₂ & u₃v₃ \ u₄v₁ & u₄v₂ & u₄v₃ \end{bmatrix} $$
이 이름은 내적(inner product)의 반대말에서 유래하였는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만 외적하면 스칼라가 아닌 행렬을 얻기 때문이다. 복소공간에서는 전치(ᵀ) 대신 복소켤레전치(†)를 사용한다.
두 개념의 관계: 3차원 유클리드 공간에서 외적(outer product)에 호지 쌍대(Hodge dual) 연산을 취하면 벡터곱(cross product)이 된다. 이러한 이유로 한국어에서는 두 개념 모두 '외적'이라는 용어로 혼용되어 사용되며, 문맥에 따라 구분하여 이해해야 한다.
역사: 벡터곱의 개념은 19세기 미국의 수학자 조사이어 윌러드 깁스(Josiah Willard Gibbs)가 사원수(quaternion) 이론을 바탕으로 벡터 해석을 정립하는 과정에서 도입하였다.
