완전수(完全數, perfect number)는 수론에서 자기 자신을 제외한 모든 양의 약수(진약수)의 합이 자기 자신과 같은 양의 정수를 가리킨다. 예를 들어, 6의 진약수는 1, 2, 3이며 1 + 2 + 3 = 6이므로 6은 완전수이다. 다음 완전수는 28로, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28이기 때문이다. 처음 일곱 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328이다.
이 정의는 고대 그리스까지 거슬러 올라간다. 에우클레이데스(유클리드)는 기원전 약 300년경 저서 《원론》에서 2^p - 1이 소수(메르센 소수)일 때 2^(p-1)(2^p - 1)이 짝수 완전수임을 증명하였다. 약 2000년 후, 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수가 이 형태를 가짐을 증명하였으며, 이는 에우클레이데스-오일러 정리로 알려져 있다. 따라서 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응 관계가 성립한다.
모든 짝수 완전수는 삼각수이며, 6을 제외한 모든 짝수 완전수는 연속된 홀수의 세제곱의 합으로 표현된다. 또한 이진법으로 표현하면 p개의 1 뒤에 p-1개의 0이 붙는 형태가 된다.
짝수 완전수가 무한히 존재하는지는 알려져 있지 않으며, 이는 메르센 소수가 무한히 존재하는지의 문제와 동치이다. 또한 홀수 완전수의 존재 여부도 알려져 있지 않으며, 이는 수학에서 가장 오래된 미해결 문제 중 하나이다. 홀수 완전수가 존재한다면 10^1500보다 크고 최소 10개의 서로 다른 소인수를 가져야 하는 등 여러 조건을 만족해야 함이 알려져 있다. 2025년 기준으로 52개의 메르센 소수가 알려져 있으며, 이에 따라 52개의 짝수 완전수가 알려져 있다. 가장 큰 알려진 완전수는 2^136279840 × (2^136279841 - 1)로, 약 8200만 자리의 정수이다.
