정의
완전수(英: perfect number)는 양의 정수 $n$이 그 자신의 진약수(자신을 제외한 약수)의 합과 정확히 일치하는 경우를 말한다. 즉,
$$
\sum_{\substack{d\mid n \ d<n}} d = n
$$
을 만족하는 정수를 완전수라 한다.
예시
가장 작은 완전수는 6이다.
$6$의 진약수는 $1, 2, 3$이며, $1+2+3=6$이므로 완전수이다.
그 다음은 28이며, 진약수는 $1, 2, 4, 7, 14$이고 $1+2+4+7+14=28$이다.
이후 알려진 완전수는 차례로 496, 8128, 33,550,336, 8,589,869,056, 1,37,438,683, 12, 68, ...(이하 생략)이다.
역사
완전수 개념은 고대 그리스 시대부터 연구되어 왔다. 유클리드(기원전 300년경)는 $\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)$ 형태의 수가 완전수가 되려면 $(2^{p}-1)$이 소수, 즉 메르센 소수여야 한다는 정리를 제시하였다. 이는 오늘날 “유클리드‑에우클리드 정리”로 알려져 있다.
반면, 에우클리드(기원전 300년경)는 모든 완전수가 위와 같은 형태임을 증명하지는 못했으며, 이는 후대에 에우클리드가 증명한 “모든 짝수 완전수는 메르센 소수와 연관된다”는 명제와 대비된다.
성질
- 짝수 완전수: 현재 알려진 모든 완전수는 짝수이며, 위의 유클리드 형식으로 표현된다.
- 홀수 완전수 존재 여부: 13세기 이후 수학자들은 홀수 완전수의 존재 가능성을 탐구했지만, 현재까지는 발견되지 않았으며, 존재한다면 매우 큰 수일 것이라는 추정만 존재한다.
- 메르센 소수와의 관계: $(2^{p}-1)$이 메르센 소수일 때만 $\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)$이 완전수가 된다. 현재까지 확인된 메르센 소수는 51개이며, 각각에 대응하는 완전수가 존재한다.
응용
완전수 자체는 순수수학에서 주로 연구 대상이지만, 약수의 합을 이용한 수론적 함수(예: σ함수)와의 연관성을 통해 정수론 전반의 구조를 이해하는 데 활용된다. 또한, 완전수와 완전수와 유사한 개념(예: 과잉수, 부족수)은 교육용 예제로 자주 이용된다.
연구 동향
- 홀수 완전수 탐색: 현재까지는 컴퓨터 기반 검색으로도 발견되지 않았으며, 이론적 제한조건(예: 특정 형태의 소인수 구조)도 제시되고 있다.
- 메르센 소수 탐색: 메르센 소수의 발견이 새로운 완전수의 발견과 직접 연결되므로, 대규모 분산 컴퓨팅 프로젝트(예: GIMPS)에서 활발히 연구되고 있다.
참고
- 유클리드, 원론 (Elements)
- 에우클리드, 수론 (Elements of Number Theory)
- GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) 프로젝트 결과
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