정의
오일러 지표(Euler characteristic)는 대수적 위상수학과 조합론에서 위상 공간 또는 그래프의 위상수학적 불변량 중 하나인 정수이다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없이 위상적 성질만으로 결정되는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부르며, 기호는 그리스 문자 χ(카이)이다.
다면체에서의 오일러 지표
레온하르트 오일러가 처음 발견한 가장 유명한 형태는 다면체에 대한 것이다.
χ = V - E + F
(V = 꼭짓점(vertex)의 수, E = 모서리(edge)의 수, F = 면(face)의 수)
모든 볼록 다면체는 구(sphere)와 위상동형이므로, 그 모양에 관계없이 오일러 지표가 항상 2이다.
| 다면체 | 꼭짓점(V) | 모서리(E) | 면(F) | χ = V - E + F |
|---|---|---|---|---|
| 정사면체 | 4 | 6 | 4 | 2 |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | 2 |
| 정팔면체 | 6 | 12 | 8 | 2 |
| 정십이면체 | 20 | 30 | 12 | 2 |
| 정이십면체 | 6 | 12 | 20 | 2 |
일반적인 위상 공간에서의 정의
사슬 복합체 $(C_\bullet, \partial_\bullet)$의 호몰로지 $H_\bullet(C)$가 모두 유한 계수를 갖고, 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 할 때:
$$ \chi(C_\bullet) = \sum_i (-1)^i \operatorname{rank} H_i(C) \in \mathbb{Z} $$
즉, 베티 수(Betti number)의 교대합(alternating sum) 으로 정의된다.
다양한 곡면의 오일러 지표
| 공간 | 오일러 지표 χ |
|---|---|
| 구(sphere) | 2 |
| 원판(disk) | 1 |
| 폐구간 | 1 |
| 원(circle) | 0 |
| 토러스(torus, 도넛면) | 0 |
| 뫼비우스 띠 | 0 |
| 클라인 병 | 0 |
| 실사영평면(real projective plane) | 1 |
| 이중 토러스(genus 2) | -2 |
| 삼중 토러스(genus 3) | -4 |
| 연결되지 않은 두 개의 구 | 4 |
핵심 성질
- 위상 불변량(Topological invariant): 위상동형인 공간은 항상 같은 오일러 지표를 가진다.
- 호모토피 불변량: 호모토피 동치인 공간도 같은 오일러 지표를 가진다.
- 가법성(Additivity): 공간을 분할하면 오일러 지표는 합산된다.
- 곱공간: $\chi(X \times Y) = \chi(X) \cdot \chi(Y)$
역사
- 1758년: 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)가 볼록 다면체에 대해 $V - E + F = 2$임을 발견하였다.
- 19세기: 푸앵카레(Henri Poincaré)가 이 개념을 일반적인 위상 공간으로 확장하여 오일러-푸앵카레 지표로 발전시켰다.
- 20세기: 천싱선(Chern, S. S.)이 가우스-보네 정리를 일반화하여 짝수 차원의 옹골 다양체에서 곡률을 적분하면 오일러 지표를 얻을 수 있음을 증명하였다(천-가우스-보네 정리).
의의
오일러 지표는 "도형의 구멍의 개수" 와 밀접한 관련이 있다. 예를 들어:
- 구(구멍 0개) → χ = 2
- 토러스(구멍 1개) → χ = 0
- 이중 토러스(구멍 2개) → χ = -2
일반적으로 g개의 구멍을 가진 방향 가능한 폐곡면의 오일러 지표는 $\chi = 2 - 2g$이다. 이처럼 오일러 지표는 위상 공간의 기하학적·위상학적 구조를 단 하나의 정수로 요약하는 강력한 도구이다.
