오일러 곱(Euler product)은 수론에서 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 나타내는 방법이다. 산술의 기본 정리를 사용하여 증명할 수 있으며, 흔히 산술의 기본 정리의 해석적 형태로 여겨진다. 이 개념은 리만 제타 함수의 경우를 처음 증명한 스위스 출신 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)의 이름에서 유래하였다.
정의
곱셈적 함수 f: Z⁺ → C가 주어졌고, 디리클레 급수
∑ₙ₌₁^∞ f(n)n⁻ˢ
가 모든 Re(s) > σ₀에서 절대 수렴한다고 하자. 이때 이 디리클레 급수의 합은 모든 Re(s) > σ₀에서 다음과 같은 절대 수렴 무한곱으로 나타낼 수 있다.
∑ₙ₌₁^∞ f(n)n⁻ˢ = ∏ₚ ∑ₖ₌₀^∞ f(pᵏ)p⁻ᵏˢ = ∏ₚ (1 + f(p)p⁻ˢ + f(p²)p⁻²ˢ + ⋯)
만약 f가 완전 곱셈적 함수라면, 무한곱의 인자가 등비급수가 되므로 이 무한곱은 다음과 같이 더 단순해진다.
∑ₙ₌₁^∞ f(n)n⁻ˢ = ∏ₚ 1/(1 − f(p)p⁻ˢ)
이를 오일러 곱 공식(Euler product formula)이라고 하며, 이 공식 속의 무한곱을 오일러 곱이라고 한다.
대표적인 예
가장 대표적인 예는 리만 제타 함수의 경우이다.
ζ(s) = ∑ₙ₌₁^∞ n⁻ˢ = ∏ₚ 1/(1 − p⁻ˢ) (Re(s) > 1)
그 밖에도 뫼비우스 함수, 오일러 피 함수, 약수 함수, 리우빌 함수, 디리클레 L-함수 등 여러 수론적 함수의 디리클레 급수가 오일러 곱으로 표현될 수 있다.
역사
레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 그 오일러 곱과 등치함을 처음 증명하였다. 오일러 곱 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(라틴어: Variae observationes circa series infinitas)에 수록되었다. 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로, 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.
오일러의 증명은 해석학의 기초가 정립되기 이전에 이루어졌으며, 1837년 페터 구스타프 르죈 디리클레가 리만 제타 함수의 오일러 곱의 엄밀한 증명을 처음 발표하였다.
의의
오일러 곱은 소수(prime number)의 분포와 해석적 함수 사이의 연결을 보여주는 핵심적인 도구로, 해석적 수론(analytic number theory)의 기초를 이루는 개념이다. 소수에 대한 무한곱으로 급수를 표현함으로써, 소수의 성질을 해석학적 방법으로 연구할 수 있게 해준다. 이는 리만 가설을 비롯한 현대 수론의 여러 중요한 문제를 다루는 데 필수적인 수단으로 사용된다.
