오일러 각(Euler角, Euler angle)은 강체(rigid body)가 놓인 방향을 3차원 공간에서 표현하기 위하여 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 도입한 세 개의 각도 체계이다. 즉, 3차원 회전군 SO(3)의 한 좌표계에 해당한다. 3차원 공간에 놓인 강체의 방향은 오일러 각을 사용하여 세 번의 회전을 통해 얻을 수 있다.
정의
레온하르트 오일러는 1748년 저서 《무한해석 개론》(Introductio in analysin infinitorum)에서 오일러 공식과 함께 오일러 각에 대해서도 수록하였다. 오일러 각은 강체의 방향을 3차원 공간 좌표계의 회전으로 이해하는 방식이다.
주어진 3차원 공간 좌표계를 (x, y, z)라 하고, 이를 회전시킨 좌표계를 (X, Y, Z)라고 할 때, 강체의 방향은 다음의 세 각도로 표시될 수 있다.
- α (또는 ψ): z-축을 회전축으로 하여 회전된 x-y 좌표축의 각도
- β (또는 θ): 회전된 x-축(즉, N-축)을 회전축으로 하여 회전된 z-y 좌표축의 각도
- γ (또는 φ): 위에서 회전된 z-축(즉, Z축)을 회전축으로 하여 회전된 x-y 좌표축의 각도
이와 같이 강체의 방향은 세 개의 각도로 표시될 수 있다. 로봇 제어와 같은 기기 제어 분야에서는 ψ, θ, φ의 표현이 자주 사용된다.
좌표계 방식과의 관계
오일러 각은 강체의 자세를 좌표축의 회전으로 표현하는 여러 방법 가운데 하나로, 회전축의 순서에 따라 Z-X-Z 좌표라고도 불린다. 오일러 각 이외에 강체의 자세를 표현하는 방법으로는 X축 회전을 롤(roll), Y축 회전을 피치(pitch), Z축 회전을 요(yaw)라고 표기하는 X-Y-Z 좌표 방식(요-피치-롤 방식)이 있다. 오일러 각은 직관적이지만 짐벌 락(singularity)과 비유일 표현으로 인한 문제가 있다.
짐벌 락
오일러 각의 범위에서 α와 γ는 이상적인 상황에서 2π 라디안까지이며, β의 경우 -π/2에서 π/2까지가 된다. β의 범위가 제한적인 현상을 짐벌 락(gimbal lock)이라 하는데, 이는 앞서 회전한 두 축의 영향으로 세 번째 회전의 가동 범위가 줄어들기 때문이다. 짐벌 락은 자세 제어에서 특이점으로 작용할 수 있으며, 예를 들어 아폴로 11호의 경우 짐벌 락 때문에 자세 제어에 어려움이 있었던 사례가 알려져 있다.
활용 분야
오일러 각은 항공기와 드론의 자세 제어, 로봇 공학의 운동학 해석, 3차원 컴퓨터 그래픽스에서 객체의 회전 표현, 그리고 강체 동역학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다. 다만 수치 계산에서는 짐벌 락과 같은 특이점 문제를 피하기 위해 사원수(quaternion) 표현이 선호되기도 한다.
