오각형 테셀레이션(영어: pentagonal tiling) 또는 오각형 타일링은 오각형 모양의 타일을 사용하여 평면을 겹치거나 빈틈없이 채우는 테셀레이션(타일링)을 말한다.
정오각형으로의 테셀레이션 불가능
정오각형의 내각은 108°로, 360°를 나누어떨어지게 하지 못하기 때문에 유클리드 평면을 정오각형만으로 빈틈없이 채우는 것은 불가능하다. 그러나 쌍곡공간(쌍곡기하학)과 구면 위에서는 정오각형 타일링이 가능하며, 특히 구 위에서의 정오각형 타일링은 정십이면체와 위상적으로 동일하다.
볼록 오각형 타일링의 15가지 유형
한 가지 타일 유형만으로 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 볼록 오각형은 총 15종류가 존재하는 것으로 알려져 있다. 이에 대한 연구는 1918년 독일의 수학자 카를 라인하르트(Karl Reinhardt)가 처음 5가지 유형을 발견하면서 시작되었다. 이후 1968년 리처드 커슈너(Richard Kershner)가 3가지 유형을 추가로 발견하였고, 1975년 리처드 E. 제임스 3세(Richard E. James III)가 1가지 유형을 발견하였다. 1976년과 1977년에는 아마추어 수학자 마저리 라이스(Marjorie Rice)가 4가지 유형을 추가로 발견하였다. 1985년에는 롤프 슈타인(Rolf Stein)이 1가지 유형을 발견하였고, 마지막 15번째 유형은 2015년에 발견되었다.
2017년, 프랑스 국립과학연구소(CNRS)의 미카엘 라오(Michaël Rao)는 타일링 가능한 볼록 오각형이 위의 15종류뿐임을 증명하는 논문을 발표하였다. 2017년 7월, 라오의 증명 중 절반 가량이 토마스 헤일스(Thomas Hales)에 의해 독립적으로 검증되었다.
15가지 유형의 조건
각 유형은 오각형의 변의 길이와 각도에 대한 특정 조건으로 정의된다. 아래는 각 유형의 주요 조건이다.
| 유형 | 주요 조건 |
|---|---|
| 1 | B + C = 180°, A + D + E = 360° |
| 2 | c = e, B + D = 180° |
| 3 | a = b, d = c + e, A = C = D = 120° |
| 4 | b = c, d = e, B = D = 90° |
| 5 | a = b, d = e, A = 60°, D = 120° |
| 6 | a = d = e, b = c, B + D = 180°, 2B = E |
| 7 | b = c = d = e, B + 2E = 2C + D = 360° |
| 8 | b = c = d = e, 2B + C = D + 2E = 360° |
| 9 | b = c = d = e, 2A + C = D + 2E = 360° |
| 10 | a = b = c + e, A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360° |
| 11 | 2a + c = d = e, A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360° |
| 12 | 2a = d = c + e, A = 90°, C + E = 180°, 2B + C = 360° |
| 13 | d = 2a = 2e, B = E = 90°, 2A + D = 360° |
| 14 | 2a = 2c = d = e, A = 90°, 2B + C = 360°, C + E = 180° |
| 15 | a = c = e, b = 2a, A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90° |
(단, A, B, C, D, E는 각 꼭짓점의 각도이며, a, b, c, d, e는 각각 각 A, B, C, D, E의 시계방향에 위치한 변의 길이이다.)
대부분의 유형은 내각이나 변의 길이가 서로 다른 여러 모양을 가질 수 있으며, 특정 모양의 타일은 두 가지 이상의 유형에 포함될 수도 있다. 유형 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13의 경우 오각형이 오목 다각형인 경우도 존재한다.
비볼록 오각형 및 비정형 타일링
볼록 오각형 외에도 오목 오각형을 사용한 테셀레이션이 존재하며, 서로 다른 여러 형태의 오각형을 조합하거나 오각형과 다른 다각형을 함께 사용하는 테셀레이션도 가능하다. 이러한 경우는 위의 15가지 유형에 포함되지 않는다.
활용 분야
오각형 테셀레이션은 수학적 연구 주제일 뿐만 아니라 건축, 디자인, 미술 등 여러 분야에서 응용된다. 건축에서는 비정형 외관 디자인이나 타일 패턴에 활용되며, 예술에서는 M. C. 에셔(M. C. Escher)의 작품과 같은 테셀레이션 예술의 일부로 사용된다. 또한 수학 교육에서 기하학적 사고와 패턴 인식 능력을 기르는 소재로도 활용된다.
