오각수(五角數, pentagonal number)는 수학에서 오각형을 사용하여 정의되는 다각수(polygonal number)의 일종이다. 고대 그리스의 피타고라스 학파에서 비롯된 도형수(형상수) 개념의 하나로, 점을 정오각형 모양으로 배열할 때 사용되는 점의 총개수를 나타내는 수이다.
정의
음이 아닌 정수 $n$에 대하여, $n$번째 오각수 $\operatorname{Pen}(n)$는 다음 공식으로 정의된다.
$$ \operatorname{Pen}(n) = \frac{n(3n-1)}{2} = \sum_{k=1}^{n} (3k-2) $$
즉, 첫째 오각수는 1, 둘째 오각수는 1+4=5, 셋째 오각수는 1+4+7=12, 넷째 오각수는 1+4+7+10=22와 같이, 공차가 3인 등차수열의 부분합으로 계산된다.
1000보다 작은 오각수는 다음과 같다.
0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, … (OEIS A000326)
성질
- $n$번째 오각수는 $3n-1$번째 삼각수의 $\frac{1}{3}$과 같다.
- 오각수는 홀수-홀수-짝수-짝수의 순서로 이어지며, 1과 5를 제외하고는 모두 합성수이다.
- 오일러의 오각수 정리(Euler's pentagonal number theorem)에 등장한다. 이 정리는 오일러 함수의 곱 표현과 급수 표현 사이의 관계를 나타내며, 자연수의 분할(partition) 함수와 깊은 연관이 있다.
- 페르마 다각수 정리(Fermat polygonal number theorem)에 따르면, 모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다.
역사
일반적인 다각수 개념은 기원전 2세기경 그리스 수학자 힙시클레스(Hypsicles)가 처음 정의한 것으로 알려져 있다. 오각수를 비롯한 도형수는 피타고라스 학파가 수와 도형의 관계를 연구하는 과정에서 발전하였다.
관련 개념
오각수는 다각수의 한 종류로, 같은 계열의 수로는 삼각수(1, 3, 6, 10, …), 정사각수(1, 4, 9, 16, …), 육각수(1, 6, 15, 28, …) 등이 있다. 또한 중심있는 오각수(centered pentagonal number)라는 변형된 개념도 존재하며, 이는 중심에 점 하나를 두고 그 주위를 오각형 모양으로 감싸는 형태로 정의된다.
