오각뿔이 붙은 정십이면체는 정십이면체(regular dodecahedron)의 한 면에 정오각뿔(pentagonal pyramid)이 부착된 형태의 다면체로, 존슨 솔리드(Johnson solid) J58에 해당한다. 영어 명칭은 augmented dodecahedron이다.
정의
정십이면체의 하나의 정오각형 면을 제거하고, 그 자리에 정오각뿔의 밑면이 일치하도록 부착한 다면체이다. 부착된 정오각뿔은 모든 면이 정삼각형인 정오각피라미드(J2)이며, 정십이면체의 나머지 면들은 그대로 유지한다.
구조 및 성질
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 면(face) 수 | 16 (정오각형 11개, 정삼각형 5개) |
| 모서리(edge) 수 | 35 |
| 정점(vertex) 수 | 21 |
| 대칭성 | C₅ᵥ(5축 회전 대칭 + 반사 대칭) |
| 볼록성 | 볼록(convex) |
| 다면체 유형 | 존슨 솔리드(Johnson solid) J58 |
- 면 구성: 정십이면체의 12개 정오각형 중 하나가 정오각뿔의 밑면으로 대체되며, 이와 동시에 정오각뿔의 5개 정삼각형이 추가된다. 따라서 전체 면은 11개의 정오각형과 5개의 정삼각형으로 이루어진다.
- 대칭성: 부착된 정오각뿔에 의해 전체 다면체는 5차 회전 대칭축과 그 축에 대한 반사면을 갖는 C₅ᵥ 대칭군을 따른다.
- 볼록성: 모든 면이 평면이며, 각면 사이의 이각이 180° 미만이므로 전체 형태는 볼록한다.
역사·분류
존슨 솔리드라는 용어는 1966년 나단 알렌 존슨(Nathan Allen Johnson)이 제시한 92개의 비정규(regular) 다면체 집합을 일컫는다. 이 중 J58인 augmented dodecahedron은 정십이면체에 정오각뿔을 부착한 형태로, 정다각형 면만으로 이루어진 것이 아니라 삼각형 면도 포함한다는 점에서 아홉 개 이하의 플라톤 입체와 구별된다.
관련 다면체
- 정오각뿔 (J2): 정오각형 밑면과 5개의 정삼각형 면으로 구성된 기본 솔리드.
- 정십이면체: 12개의 정오각형 면으로 이루어진 플라톤 입체.
- 다른 증강형(augmented) 솔리드: 예를 들어, 정육면체에 정사면체를 부착한 augmented cube(J33) 등.
참고문헌
- N. A. Johnson, “Convex polyhedra with regular faces,” Canad. J. Math., 1966.
- Wolfram MathWorld, “Augmented Dodecahedron.”
- Wikipedia, “Johnson solid.”
주의: 위 내용은 기존의 수학·기하학 문헌에 기반한 객관적인 정보이며, 오각뿔이 붙은 정십이면체가 실제로 사용되는 구체적인 응용 사례나 문화적 의미에 대한 보고는 현재까지 확인되지 않는다.