오각뿔이 붙은 정십이면체는 기하학, 특히 입체기하학에서 다루어지는 볼록 다면체의 한 종류이다. 영어 명칭은 augmented dodecahedron이며, 존슨의 다면체(Johnson solid) 중 58번째(J58)에 해당한다.
이 다면체는 정십이면체(regular dodecahedron)의 한 면에 정오각뿔(pentagonal pyramid, J2)을 하나 부착하여 구성된다. 정십이면체는 12개의 정오각형 면으로 이루어진 정다면체이며, 그 중 한 면을 덮도록 정오각뿔을 붙이면, 해당 면은 오각뿔의 5개 정삼각형 옆면으로 대체된다. 따라서 이 다면체는 총 16개의 면을 가지며, 그 구성은 정오각형 11개와 정삼각형 5개이다.
이 다면체의 모서리 수는 35개, 꼭짓점 수는 21개이며, 대칭군은 C5v이다. 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체라는 점에서 존슨의 다면체로 분류된다.
한 변의 길이를 a라고 할 때, 표면적 A와 부피 V는 다음과 같이 계산된다.
- 표면적: A ≈ 21.09a²
- 부피: V ≈ 7.965a³
부피는 정십이면체의 부피와 정오각뿔의 부피를 합산하여 구한다.
이와 유사한 계열의 다면체로는 두 개의 오각뿔이 마주보는 면에 붙은 형태(parabiaugmented dodecahedron, J59), 두 개의 오각뿔이 비껴보는 면에 붙은 형태(metabiaugmented dodecahedron, J60), 세 개의 오각뿔이 붙은 형태(triaugmented dodecahedron, J61)가 있으며, 이들은 각각 존슨의 다면체 J59, J60, J61로 분류된다.
존슨의 다면체는 1966년 미국의 수학자 노먼 존슨(Norman W. Johnson)이 정다각형 면을 가지면서도 고른 다면체(플라톤 다면체, 아르키메데스의 다면체, 각기둥, 엇각기둥)에 속하지 않는 볼록 다면체 92개를 처음으로 체계적으로 나열하면서 정립된 개념이다.
