열세 번째 프라임은 소수(素數, prime number)를 크기 순으로 나열했을 때 열세 번째에 해당하는 숫자를 의미한다. 이 숫자는 41이다.
소수란?
소수는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수(divisor)로 가지는 수를 말한다. 즉, 1과 자기 자신 외에는 다른 자연수로 나누어떨어지지 않는 수이다. 예를 들어, 2, 3, 5, 7, 11 등은 소수이다. 1은 소수가 아니며, 4와 같이 1과 자기 자신 외에 다른 약수(2)를 가지는 수는 합성수(composite number)라고 한다. 소수는 정수론에서 매우 중요한 위치를 차지하며, 모든 1보다 큰 자연수는 소수들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다(산술의 기본 정리).
열세 번째 소수 찾기
소수를 작은 수부터 순서대로 나열하면 다음과 같다:
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
- 19
- 23
- 29
- 31
- 37
- 41
따라서 열세 번째 프라임은 41이다.
숫자 41의 특징
41은 단순한 소수라는 것 외에도 여러 수학적 특징을 가지고 있다.
- 소피 제르맹 소수: 41은 소피 제르맹 소수(Sophie Germain prime)에 해당한다. 소피 제르맹 소수는 $p$가 소수일 때 $2p+1$도 소수인 $p$를 의미하는데, $2 \times 41 + 1 = 83$ 또한 소수이므로 41은 소피 제르맹 소수이다.
- 첫 여섯 소수의 합: 41은 첫 여섯 개의 소수(2, 3, 5, 7, 11, 13)를 모두 더한 값과 같다: $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41$.
- 연속된 정수의 제곱의 합: 41은 $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$로, 연속된 두 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다.
- 다각형 수: 41은 특정 순서의 중심 오각수, 중심 사각수, 그리고 중심 칠각수에 해당한다.
- 오일러의 소수 생성 다항식: 유명한 $n^2 - n + 41$ 다항식은 $n=1$부터 $n=40$까지 모두 소수를 생성하는데, $n=1$일 때 $1^2 - 1 + 41 = 41$이 된다.
- 분할 함수: 41은 9의 정수 분할(integer partition) 개수 $p(9)$와 같다. 즉, 9를 양의 정수들의 합으로 나타내는 방법의 수는 41가지이다.