열기(形態學, Opening)는 수학적 형태학(mathematical morphology) 및 컴퓨터 비전, 화상 처리 분야에서 사용되는 형태학적 연산 중 하나이다. 열기는 기본 형태학 연산인 침식(erosion)과 팽창(dilation)의 조합으로 정의된다.
정의
수학적 형태학에서, 집합 A를 구조적 요소(structure element) B로 침식한 뒤 다시 B로 팽창한 것을 열기라고 하며, 다음과 같이 표기한다.
A ∘ B = (A ⊖ B) ⊕ B
여기서 ⊖는 침식 연산, ⊕는 팽창 연산을 의미한다.
열기는 구조적 요소 B가 집합 A의 내부를 쓸고 다니는 것과 같은 효과를 내어, A의 경계를 확장하지 않으면서 작은 돌출부를 제거하고 A의 경계를 요소의 경계에 맞게 다듬는다.
주요 특성
열기는 다음과 같은 수학적 특성을 가진다.
- 멱등성(Idempotence): (A ∘ B) ∘ B = A ∘ B, 즉 열기를 반복 적용해도 결과가 변하지 않는다.
- 단조 증가(Monotonicity): A ⊆ C이면 A ∘ B ⊆ C ∘ B가 성립한다.
- 반-확장성(Anti-extensivity): A ∘ B ⊆ A, 즉 열기 결과는 원래 집합의 부분집합이다.
- 병진 불변성(Translation invariance): 객체의 위치가 이동하더라도 연산 결과가 동일하게 이동한다.
또한 열기와 닫기(Closing)는 서로 쌍대성(duality) 관계를 이루며, 이는 보수 집합을 통해 상호 변환이 가능함을 의미한다.
응용
열기는 이미지 처리에서 전경(보통 밝은 픽셀)에 존재하는 구조적 요소보다 작은 작은 물체를 제거하는 데 사용된다. 이는 잡음 제거, 특정 모양의 검출, 이미지에서 원하지 않는 작은 구성 요소 제거 등에 활용된다. 구조적 요소보다 큰 객체의 형태는 크게 변화시키지 않으면서 작은 객체만 선별적으로 제거하는 것이 열기의 주요 용도이다.
열기를 침식 단계에서 이미 제거된 객체를 팽창 시 마스크 이미지로 제한하는 지오데식 팽창(geodesic dilation)을 통해 완전히 복원하는 형태학적 재생성(morphological reconstruction) 기법도 존재한다.
참고 문헌
- Jean Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
- Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, Digital Image Processing (Third Edition), ISBN 978-93-325-7032-0 (2008)
