정의
연립일차방정식(聯立一次方程式, 영어: system of linear equations) 또는 선형 방정식계(線形方程式系)는 두 개 이상의 일차방정식을 하나의 체계로 묶어 놓은 것을 말한다. 각 방정식은 미지수에 대한 일차식으로 구성되며, 모든 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값(또는 값들의 순서쌍)을 이 연립방정식의 해라고 한다.
일반형
$m$개의 방정식으로 이루어진 $n$원 연립일차방정식은 다음과 같은 꼴로 표현된다.
$$ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \ &\vdots \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} $$
여기서 $a_{ij}$는 계수, $x_j$는 미지수, $b_i$는 상수항이다.
행렬 표현
행렬 곱셈의 정의에 따라 위 연립방정식은 다음과 같이 간결하게 나타낼 수 있다.
$$ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $$
여기서 $A$는 계수 행렬, $\mathbf{x}$는 미지수 벡터, $\mathbf{b}$는 상수항(소스) 벡터이다. 계수 행렬에 상수항 벡터를 덧붙인 행렬 $(A|\mathbf{b})$를 첨가 행렬(또는 확대 행렬)이라고 한다.
동차와 비동차
$\mathbf{b} = \mathbf{0}$인 경우를 동차 연립일차방정식(homogeneous system)이라 하며, $\mathbf{b} eq \mathbf{0}$인 경우를 비동차 연립일차방정식(non-homogeneous system)이라고 한다.
해의 종류
연립일차방정식의 해는 다음 세 가지 경우로 나뉜다.
- 유일한 해 (exactly one solution): 계수 행렬이 가역 행렬(정사각 행렬이며 행렬식이 0이 아님)일 때, 또는 계수 행렬의 계수(rank)와 첨가 행렬의 계수가 같고 그 값이 미지수의 개수와 같을 때 발생한다.
- 무수히 많은 해 (infinitely many solutions): 계수 행렬의 계수와 첨가 행렬의 계수가 같지만 미지수의 개수보다 작을 때 발생한다. 이 경우 해는 하나의 특수해와 동차해 공간의 합으로 표현된다.
- 해가 없음 (no solution): 계수 행렬의 계수와 첨가 행렬의 계수가 서로 다를 때 발생하며, 이를 불능이라고 한다.
주요 해법
- 가감법: 두 방정식의 양변에 적절한 상수를 곱한 뒤 더하거나 빼서 한 문자를 소거하는 방법.
- 대입법: 한 방정식을 한 미지수에 대해 정리한 후 다른 방정식에 대입하여 해를 구하는 방법.
- 등치법: 두 식을 같은 미지수에 대해 각각 정리한 후 서로 같다고 놓고 푸는 방법.
- 가우스 소거법: 첨가 행렬에 기본 행 연산을 적용하여 행 사다리꼴 형태로 변환한 후 후진 대입으로 해를 구하는 체계적인 알고리즘. 대규모 연립방정식의 해법에 널리 사용된다.
- 크라메르 법칙: 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고 계수 행렬이 가역 행렬일 때, 행렬식을 이용하여 해를 직접 구하는 공식. $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$의 형태로 표현된다.
기하학적 의미
실수 계수의 이원(미지수 2개) 연립일차방정식은 좌표평면 위의 두 직선으로 나타낼 수 있다. 이때 해는 두 직선의 교점에 해당한다. 두 직선이 한 점에서 만나면 유일한 해, 일치하면 무수히 많은 해(부정), 평행하면 해가 없음(불능)이 된다. 삼원 이상의 경우에는 초평면들의 교점으로 확장된다.
활용 분야
연립일차방정식은 선형대수학의 핵심 연구 대상이며, 물류 비용 최적화, 경제학의 수요-공급 분석, 공학 설계, 회로 분석, 화학 반응식의 균형 맞추기, 컴퓨터 그래픽스, 인공지능의 선형 회귀 분석 등 다양한 실제 문제를 수학적으로 모델링하는 데 사용된다.
