역원(逆元, 영어: inverse element)은 수학의 대수학 분야에서 사용되는 개념으로, 두 원소를 어떤 이항 연산으로 계산한 결과가 항등원(identity element)이 될 때, 한 원소에 대하여 다른 원소를 이르는 말이다. 이는 덧셈에서의 반수(opposite number)와 곱셈에서의 역수(reciprocal)를 일반화한 추상적인 개념이다.
정의
집합 $S$와 그 위에 정의된 이항 연산자 $$가 있다고 가정할 때, 연산 $$에 대한 항등원 $e$가 존재한다고 하자. 이때 $S$의 임의의 원소 $a$에 대하여
$$ a * b = b * a = e $$
를 만족하는 $S$의 원소 $b$가 유일하게 존재하면, 이 $b$를 $a$의 역원이라고 한다.
예시
- 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$과 일반적인 덧셈 연산(+)에 대하여, 임의의 원소 $x$의 역원은 $-x$이다. 이는 $x + (-x) = (-x) + x = 0$(덧셈에 대한 항등원)이 성립하기 때문이다.
- 실수 집합에서 $0$을 제외한 집합 $\mathbb{R}\setminus{0}$과 일반적인 곱셈 연산(×)에 대하여, 임의의 원소 $x$의 역원은 $\frac{1}{x}$이다. 이는 $x \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \times x = 1$(곱셈에 대한 항등원)이 성립하기 때문이다.
- 행렬 연산에서는 가역행렬(invertible matrix)에 대해 역행렬(inverse matrix)이 존재하며, 이 또한 역원의 일종이다.
- 합성함수 연산에서 역함수(inverse function)도 역원의 개념으로 설명된다.
성질
역원은 항등원이 존재할 때에만 정의될 수 있으며, 주어진 원소에 대한 역원이 존재하면 그 역원은 유일하다(唯一性). 모든 원소가 역원을 가지는 것은 아니며, 역원이 존재하는 원소를 가역원(invertible element)이라고 한다. 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 대수 구조에서는 연산에 따라 특정 원소들의 역원 존재 여부가 구조의 성질을 결정하는 핵심 요소가 된다.
