정의
역감마 분포(Inverse Gamma distribution)는 양의 실수값을 갖는 연속 확률분포로, 정규분포의 분산이나 정확히는 정규 분포의 정밀도(precision)의 사전분포(prior distribution)로 자주 사용된다.
확률변수 $X$가 형태 매개변수 $\alpha>0$와 규모 매개변수 $\beta>0$를 갖는 역감마 분포를 따를 때, 이를 $X \sim \text{InvGamma}(\alpha,\beta)$ 로 표기한다.
확률밀도함수 (PDF)
$$ f(x \mid \alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)},x^{-\alpha-1}, \exp!\left(-\frac{\beta}{x}\right), \qquad x>0, $$
여기서 $\Gamma(\cdot)$는 감마 함수이다.
누적분포함수 (CDF)
$$ F(x \mid \alpha,\beta)=\frac{\Gamma!\left(\alpha,,\beta/x\right)}{\Gamma(\alpha)}, $$
where $\Gamma(s, t)$는 상한 감마 함수(upper incomplete gamma function)이다.
기대값 및 분산
$$ \operatorname{E}[X]=\frac{\beta}{\alpha-1}\quad (\alpha>1), $$
$$ \operatorname{Var}(X)=\frac{\beta^{2}}{(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)}\quad (\alpha>2). $$
관련 분포와 변환
-
감마 분포와의 관계 :
만약 $Y \sim \text{Gamma}(\alpha,,\theta)$ (형태 $\alpha$, 규모 $\theta$)라면, $X = 1/Y$는 $\text{InvGamma}(\alpha,,\beta)$ with $\beta = 1/\theta$ 를 따른다. -
스케일링 :
상수 $c>0$에 대해 $cX \sim \text{InvGamma}(\alpha,,c\beta)$.
응용 분야
- 베이지안 통계 – 정규 분포의 분산 $\sigma^{2}$ 혹은 정밀도 $\tau = 1/\sigma^{2}$의 사전분포로 사용된다. 역감마 분포는 정규-역감마 결합에서 정밀도의 사후분포가 다시 역감마 형태가 되는 공액(conjugate) 특성을 가진다.
- 신뢰구간 및 예측 – 회귀 분석이나 혼합 효과 모델 등에서 분산 추정의 불확실성을 반영하기 위해 활용된다.
- 신호 처리·공학 – 잡음 레벨(variance) 추정 문제에 베이지안 프레임워크를 적용할 때 종종 채택된다.
특징
- 꼬리가 두텁게(heavy‑tailed) 나타나며, $\alpha$가 작을수록 극단값이 더 자주 발생한다.
- $\alpha$와 $\beta$가 모두 증가하면 분포는 평균에 가까워지는 경향이 있다.
추가 참고문헌
- Gelman, A., et al. Bayesian Data Analysis, 3rd ed., CRC Press, 2013. – 역감마 분포를 정규 분산의 사전분포로 논의.
- Kotz, S., et al. Continuous Multivariate Distributions, Wiley, 2000. – 역감마 분포의 정의와 성질 정리.
본 내용은 통계학 및 확률론 분야의 표준 교과서와 리뷰 논문에 근거한 객관적인 요약이다.
