정의

여집합(補集合, complement set)은 전체 집합(보통 우주 집합이라 함) U 에 대하여, 특정 부분집합 A 의 원소가 아닌 모든 원소들의 집합을 말한다. 수학적으로는 다음과 같이 표기한다.

$$ A^{c}=U\setminus A={x\in U \mid x otin A} $$

여기서 $U$는 논의하고자 하는 상황에서 정해진 전체 집합이며, $A^{c}$는 $A$의 여집합을 의미한다.

기호와 표기법

• $A^{c}$ 또는 $\overline{A}$ – 가장 흔히 쓰이는 표기.
• $U\setminus A$ – 차집합 기호를 이용한 표기.

기본 성질

1. 이중 여집합: $(A^{c})^{c}=A$
2. 전체와의 관계: $A\cup A^{c}=U,\ \ A\cap A^{c}=\varnothing$
3. 드 모르간 법칙:
   • $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
   • $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

활용 예시

• 논리학: 명제 $P$의 부정은 $P$의 여집합에 해당한다.
• 확률론: 사건 $A$의 여집합 $A^{c}$는 $A$가 일어나지 않을 확률을 의미한다.
• 컴퓨터 과학: 비트 연산에서 NOT 연산은 집합의 여집합과 유사한 역할을 한다.

어원

• 여(餘) – ‘남다’, ‘덜 남다’의 의미로 ‘outside(외부)’를 나타낸다.
• 집합(集合) – ‘모이는 것’, 즉 ‘set’의 한국어 표기이다.

따라서 “여집합”은 문자 그대로 “전체 집합 중에서 제외된(남은) 원소들의 집합”이라는 의미를 갖는다.

관련 용어

• 전체 집합(Universal set, U) – 논의의 범위가 되는 모든 원소들의 집합.
• 부분집합(Subsets, A ⊆ U) – 전체 집합에 포함되는 집합.
• 차집합(Set difference, U\A) – 여집합과 동치이며, 차집합 기호를 이용해 표현한다.

참고 사항

• 여집합은 집합론을 다루는 대부분의 교과서 및 수학 참고서에서 표준적으로 정의되고 있다.
• 특정 분야(예: 위상수학, 측도론)에서는 전체 집합 U 의 선택에 따라 여집합의 의미가 달라질 수 있다.

(본 내용은 일반적인 수학 교과서 및 학술 자료에 근거한 객관적 서술이다.)