에르미트 행렬(Hermitian matrix)은 선형대수학에서 정의되는 복소수 정사각행렬의 한 종류로, 자기 자신과 켤레 전치(conjugate transpose)가 같은 행렬을 의미한다. 즉, 임의의 복소수 정사각행렬 $A$에 대하여 $A = A^$ (여기서 $A^$는 $A$의 켤레 전치)를 만족하면 에르미트 행렬이라고 한다. 이를 성분 단위로 표현하면, $i$행 $j$열의 성분과 $j$행 $i$열의 성분이 서로 켤레 복소수 관계에 있다는 뜻이다. 실수 성분만으로 이루어진 행렬의 경우 켤레 전치는 단순한 전치(transpose)와 같아지므로, 에르미트 행렬은 실수 대칭행렬의 복소수 일반화에 해당한다.
에르미트 행렬의 주요 성질은 다음과 같다. 첫째, 대각 성분은 항상 실수이다. 이는 정의 $A_{ii} = \overline{A_{ii}}$로부터 자명하게 유도된다. 둘째, 모든 고윳값(eigenvalue)이 실수이다. 이는 양자역학에서 에르미트 행렬이 물리적 관측 가능량(observable)을 나타내는 이유이기도 하다. 셋째, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터들은 서로 직교한다. 넷째, 두 에르미트 행렬의 합은 에르미트 행렬이며, 가역인 에르미트 행렬의 역행렬도 에르미트 행렬이다. 그러나 두 에르미트 행렬의 곱이 에르미트 행렬일 필요는 없으며, 곱이 에르미트 행렬이 될 필요충분조건은 두 행렬이 교환 가능(commute), 즉 $AB = BA$일 때이다.
에르미트 행렬이라는 명칭은 19세기 프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite)의 이름에서 유래하였다. 에르미트 행렬은 자기 수반 행렬(self-adjoint matrix)이라고도 불리며, 함수해석학에서의 자기 수반 작용소(self-adjoint operator) 개념의 유한차원 유한체 analogue로 볼 수 있다. 양자역학, 신호 처리, 수치 해석 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
