에르미트 항등식(Hermite's identity)은 19세기 프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite, 1822–1901)의 이름에서 유래한 수학 항등식으로, 최대 정수 함수(바닥 함수, floor function)가 포함된 합의 값을 간결하게 표현하는 공식이다.
정의
임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 양의 정수 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 다음이 성립한다.
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor $$
즉, $x$에 $0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n-1}{n}$을 각각 더한 값들의 바닥 함수를 모두 더한 결과는 $nx$의 바닥 함수와 같다는 내용이다.
예시
- $n=1$인 경우: $\lfloor x \rfloor = \lfloor x \rfloor$로 자명하게 성립한다.
- $n=2$인 경우: $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$가 성립한다. 예를 들어 $x=1.3$이면 좌변은 $1 + 1 = 2$, 우변 $\lfloor 2.6 \rfloor = 2$로 일치한다.
증명 개요
증명 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 대표적인 방법으로는 $x$를 정수 부분 $\lfloor x \rfloor$와 소수 부분 ${x}$으로 분리하여, 합을 두 부분으로 나누어 계산하는 대수적 증명이 있다. 또한 함수 $f(x) = \lfloor nx \rfloor - \sum_{k=0}^{n-1} \lfloor x + k/n \rfloor$를 정의하고, 이 함수가 주기 $1/n$을 가지며 구간 $[0, 1/n)$에서 항상 0임을 보이는 함수적 증명도 널리 알려져 있다.
활용
에르미트 항등식은 정수론, 조합론, 수학 경시 대회(올림피아드) 문제 등에서 바닥 함수가 포함된 합이나 급수를 다룰 때 유용하게 사용된다. 예를 들어 1968년 국제수학올림피아드(IMO) 문제에서 이 항등식이 활용된 사례가 있다. 또한 이차 상호 법칙(quadratic reciprocity law)의 증명과 같은 보다 심화된 정수론 주제와도 관련이 있다.
참고 사항
에르미트 항등식은 Encyclopedia of Mathematics에 별도로 등재된 "Hermite identity"와는 다른 개념이다. Encyclopedia of Mathematics의 "Hermite identity"는 에르미트가 $e$의 초월성을 증명하는 과정에서 사용한, 지수 함수와 다항식에 관한 항등식을 가리킨다. 따라서 문맥에 따라 두 항등식을 구별할 필요가 있다.
