에르미트 다양체

에르미트 다양체(Hermitian manifold, Hermite 多樣體)는 미분기하학에서, 복소다양체 위에 매끄러운 에르미트 내적(에르미트 계량)이 주어진 구조를 말한다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념으로, 복소다양체의 각 점에서 접공간(holomorphic tangent space)에 복소수 값을 가지는 양의 정부호 에르미트 내적이 매끄럽게 변하며 정의되어 있다.

정의

에르미트 다양체 $(M, h)$는 복소다양체(또는 개복소다양체) $M$과 그 접다발 $TM$ 위에 정의된 에르미트 계량 $h$의 쌍으로 이루어진다. 에르미트 계량 $h$는 접다발의 복소화(complexification) $TM \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$를 $T^+M$과 $T^-M$으로 분해하였을 때, $T^+M$과 $T^-M$ 사이에서 정의되는 매끄러운 단면으로, 다음 조건을 만족한다.

• $h_x(z^+, w^-) = \overline{h_x(z^-, w^+)}$ (복소켤레 대칭성)
• $h_x(z^+, z^-) \in \mathbb{R}^+$ ($z eq 0$에 대해 양의 실수, 즉 양의 정부호)

국소 좌표계 $(z^1, \dots, z^n)$에서 에르미트 계량은 $h = h_{i\bar{j}} , dz^i \otimes d\bar{z}^{\bar{j}}$의 형태로 표현되며, 계수 $h_{i\bar{j}}$는 에르미트 행렬을 이루고 모든 고윳값이 양의 실수이다.

리만 구조와 켈러 형식

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량 $g = \frac{1}{2}(h + \bar{h})$를 유도하여 리만 다양체를 이룬다. 또한 $h$로부터 (1,1)-형식인 켈러 형식 $\omega = \frac{i}{2}(h - \bar{h})$를 정의할 수 있다. 만약 이 켈러 형식이 닫혀 있어($d\omega = 0$) 추가 조건을 만족하면, 이를 켈러 다양체(Kähler manifold)라고 한다.

천 접속

에르미트 다양체 위에는 유일한 코쥘 접속인 천 접속(Chern connection)이 존재하며, 이는 $J$와 $g$를 보존한다. 일반적으로 천 접속은 레비치비타 접속과 다르며 비틀림(torsion)을 가진다. 다만 에르미트 다양체가 켈러 다양체일 경우 비틀림이 0이 되어 두 접속이 일치한다.

관련 개념

• 켈러 다양체: 에르미트 다양체 중 켈러 형식이 닫혀 있는 경우.
• 칼라비-야우 다양체: 켈러 다양체 중에서도 리치 곡률이 0인 특수한 경우.
• 에르미트 대칭 공간: 각 점에서 에르미트 구조를 보존하는 반전 대칭(inversion symmetry)을 가지는 에르미트 다양체.

에르미트 다양체는 복소 기하학, 미분 기하학, 수리물리학(특히 끈 이론) 등 여러 분야에서 중요한 개념으로 사용된다.