정의 및 수학적 형태
에너지-운동량 텐서(energy‑momentum tensor)는 물리학 특히 상대성 이론과 연속체 역학에서 물질·에너지·운동량의 분포를 기술하는 2계 텐서이다. 일반적으로 $T^{\mu
u}$ 로 표기되며, $\mu,
u = 0,1,2,3$ (시간과 3개의 공간 좌표) 로 구성된다.
$$ T^{\mu u} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{E}{c^{2}} & \displaystyle \frac{S^{1}}{c} & \displaystyle \frac{S^{2}}{c} & \displaystyle \frac{S^{3}}{c} $$6pt] \displaystyle \frac{S^{1}}{c} & \sigma^{11} & \sigma^{12} & \sigma^{13} $$6pt] \displaystyle \frac{S^{2}}{c} & \sigma^{21} & \sigma^{22} & \sigma^{23} $$6pt] \displaystyle \frac{S^{3}}{c} & \sigma^{31} & \sigma^{32} & \sigma^{33} \end{pmatrix}, $$
여기서
- $E$는 에너지 밀도,
- $\mathbf{S} = (S^{1},S^{2},S^{3})$는 에너지 흐름(또는 순간적인 파워 플럭스),
- $\sigma^{ij}$는 응력(또는 압력·전단 응력) 텐서이며, $i,j = 1,2,3$은 공간 좌표를 나타낸다.
물리적 의미
- $T^{00}$는 단위 부피당 에너지 밀도 $(\text{energy density})$를 나타낸다.
- $T^{0i}$와 $T^{i0}$는 에너지 흐름(또는 운동량 밀도)와 연관된다.
- $T^{ij}$는 $i$ 방향의 면을 통과하는 $j$ 방향 운동량 흐름을 의미하며, 이는 물질의 압력·응력 상태를 기술한다.
보존 법칙
특정 좌표계(예: 아인슈타인 자명 좌표계)에서 에너지와 운동량의 보존은 텐서의 발산이 0이라는 형태로 표현된다.
$$
abla_{\mu} T^{\mu u} = 0, $$
여기서 $ abla_{\mu}$는 공변 미분 연산자이며, 이 식은 일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 보존을 나타낸다.
일반 상대성 이론에서의 역할
아인슈타인 방정식은 에너지-운동량 텐서를 중력장과 연결한다.
$$ G_{\mu u} = \frac{8\pi G}{c^{4}}, T_{\mu u}, $$
$G_{\mu u}$는 아인슈타인 곡률 텐서, $G$는 중력 상수, $c$는 빛의 속도이다. 이 방정식에 따라 물질·에너지의 분포가 시공간 곡률을 결정한다.
특정 시스템에서의 예
| 시스템 | 에너지‑운동량 텐서 형태 (주요 성분) | 비고 |
|---|---|---|
| 진공 (전기·자기장 없음) | $T^{\mu | |
| u}=0$ | 모든 성분이 0 | |
| 전자기장 | $T^{\mu | |
| u}=F^{\mu\alpha}F^{ | ||
| u}{}_{\alpha} - \frac{1}{4}g^{\mu | ||
| u}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ | $F^{\mu | |
| u}$는 전자기장 텐서 | ||
| 완전 유체 | $T^{\mu | |
| u} = (\rho + p/c^{2})u^{\mu}u^{ | ||
| u} + p,g^{\mu | ||
| u}$ | $\rho$: 질량 밀도, $p$: 압력, $u^{\mu}$: 4-속도 | |
| 스칼라장 | $T^{\mu | |
| u}= \partial^{\mu}\phi,\partial^{ | ||
| u}\phi - \frac{1}{2}g^{\mu | ||
| u}\bigl(\partial_{\alpha}\phi,\partial^{\alpha}\phi + m^{2}\phi^{2}\bigr)$ | $\phi$: 스칼라장, $m$: 질량 매개변수 |
주요 성질
- 대칭성: 일반적인 물리계에서는 $T^{\mu u}=T^{ u\mu}$ (대칭 텐서)이다.
- 정칙성: 물리계가 로렌츠 변환에 대해 불변이면 텐서는 로렌츠 변환에 따라 동일한 형태로 변한다.
- 차원: 에너지 밀도와 압력은 동일한 차원을 가지며, 국제단위계(SI)에서는 $\text{J·m}^{-3}$ 또는 $\text{Pa}$ 로 표현된다.
참고 문헌
- S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (1972)
- R. M. Wald, General Relativity (1984)
- L. D. Landau & E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (1975)
위 내용은 물리학 및 상대성 이론 분야에서 널리 인정받는 정의와 표준 표현을 기반으로 작성되었다.
