양의 실수 함수(Positive Real Function, PR 함수)는 복소 변수 함수의 한 클래스로, 주로 전기 회로 이론, 네트워크 합성, 제어 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 복소 주파수 평면의 우반평면(Re(s) > 0)에서 해석적이며, 실수 축 위에서는 실수 값을 가지며, 우반평면에서 실수부가 음이 아닌 조건을 만족하는 함수를 말한다.
정의 함수 $F(s)$가 다음 조건을 만족할 때 양의 실수 함수라 한다.
- $F(s)$는 우반평면(Re(s) > 0)에서 해석적(analytic)이다.
- $s$가 실수일 때 $F(s)$는 실수이다.
- Re(s) > 0인 모든 $s$에 대해 Re[$F(s)$] $\ge$ 0이다.
주요 성질
- 허수축상의 극점: 허수축 위($j\omega$ 축)에 극점을 가질 수 있으나, 반드시 단극(simple pole)이어야 하며 그 잔차(residue)는 실수이고 양수여야 한다.
- 실수부와 허수부: $s = j\omega$ 허수축상에서 실수부 Re[$F(j\omega)$]는 음이 아니며, 무한대에서는 비음수의 실수 값을 가진다.
- 위상 조건: $F(s)$의 위상 각도는 $-90^\circ$와 $+90^\circ$ 사이에 있다.
- 합성 및 역수: 두 양의 실수 함수의 합은 양의 실수 함수이다. 양의 실수 함수의 역수(단, 영점이 우반평면에 없을 경우)도 양의 실수 함수이다.
물리적 의미 및 응용
- 수동 회로 합성: 임피던스 $Z(s)$ 또는 어드미턴스 $Y(s)$가 양의 실수 함수일 필요충분조건은 그것이 저항, 인덕터, 커패시터로 구성된 수동 선형 시불변 회로로 실현 가능하다는 것과 같다(브룬 합성, 포스터/카우어 형태 등).
- 안정성 이론: 양의 실수 보조정리(Positive Real Lemma)는 시스템의 수동성(passivity)과 리아푸노프 안정성 사이의 연결고리를 제공하며, 적응 제어 및 강인 제어 설계의 이론적 기반이 된다.
- 양의 실수 전달 함수(Positive Real Transfer Function): 제어 시스템에서 전달 함수 $G(s)$가 양의 실수이면, 해당 시스템은 수동적이며 피드백 연결 시 안정성을 보장하는 데 유리한 특성을 가진다.
관련 개념
- 엄밀 양의 실수 함수(Strictly Positive Real Function, SPR): Re(s) > 0에서 Re[$F(s)$] > 0을 엄격히 만족하는 함수로, 초안정성(hyperstability) 및 적응 제어의 수렴 조건 등에 사용된다.
- 유계 실수 함수(Bounded Real Function): $|F(s)| \le 1$을 만족하는 함수로, $H_\infty$ 제어 이론 등에서 다루어진다.
