양선형
양선형(雙線形, bilinear)은 수학, 특히 선형대수학·미분기하학·함수해석학 등에서 두 변수에 대해 각각 선형성을 만족하는 함수를 의미한다. 일반적으로 두 벡터 공간 $V$와 $W$ 위에 정의된 함수를 양선형 형식(bilinear form) 혹은 양선형 사상(bilinear map)이라고 부른다.
1. 정의
두 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V,;W,;U$가 주어졌을 때, $$ B : V \times W \longrightarrow U $$ 가 다음 두 조건을 만족하면 양선형 사상이라 한다.
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첫 번째 인자에 대한 선형성
$$ B(av_1+bv_2,; w) = a,B(v_1,w) + b,B(v_2,w) \qquad(\forall a,b\in K,;v_1,v_2\in V,;w\in W) $$ -
두 번째 인자에 대한 선형성
$$ B(v,; aw_1+bw_2) = a,B(v,w_1) + b,B(v,w_2) \qquad(\forall a,b\in K,;w_1,w_2\in W,;v\in V) $$
특히 $U=K$인 경우를 양선형 형식이라고 한다.
2. 대표적 예시
| 예시 | 정의 | 비고 |
|---|---|---|
| 내적 $\langle \cdot,\cdot\rangle$ | $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R},; \langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ | 대칭 양선형 형식이며, 유클리드 구조를 제공 |
| 행렬 곱 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ | $\mathbb{R}^{m\times n}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,; (\mathbf{A},\mathbf{x})\mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}$ | 첫 번째 인자는 선형 변환, 두 번째 인자는 벡터 |
| 외적 $\times$ (3차원) | $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,; u\times v$ | 반대칭(교환불가능) 양선형 형태 |
| 텐서곱 $\otimes$ | $V\times W \to V\otimes W$ | 텐서 공간을 구성하는 기본 연산 |
3. 행렬 표현
유한 차원 벡터 공간 $V\simeq K^m,;W\simeq K^n$에 대해, 양선형 사상
$B:V\times W\to K$는 고유히 행렬 $M\in K^{m\times n}$를 통해
$$
B(v,w)=v^{\mathsf T} M w
$$
와 같이 표현될 수 있다. 여기서 $v,w$는 열벡터이다.
4. 주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 양선형성 | 첫·두 번째 인자 각각에 대해 선형성을 동시에 만족 |
| 대칭·반대칭 | 양선형 형식 $B$가 $B(v,w)=B(w,v)$이면 대칭 양선형(예: 내적). $B(v,w)=-B(w,v)$이면 반대칭 양선형(예: 외적) |
| 양방향 선형 변환 | 고정된 한 인자를 고정하면 다른 인자에 대한 선형 사상이 된다. 예: $v\mapsto B(v,w_0)$ |
| 핵(kernel) | $\ker_1 B={v\mid B(v,w)=0;\forall w}$, $\ker_2 B={w\mid B(v,w)=0;\forall v}$ |
| 정칙성 | 양선형 사상이 $U$ 전체를 가득 채면 비퇴화(non‑degenerate) 라고 부른다. 정칙 양선형 형식은 행렬이 가역적임을 뜻한다. |
5. 응용 분야
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내적 공간과 힐베르트 공간
- 양선형 형식이 대칭이며 양의 정부호이면 내적을 정의하고, 이를 통해 거리와 각을 부여한다.
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다중선형 대수와 텐서 이론
- 양선형 사상은 텐서의 기본 구성 요소이며, 고차 텐서는 연속적인 양선형(다선형) 사상의 일반화이다.
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물리학
- 전자기학에서 전자기 텐서는 전기장·자기장을 결합한 양선형 구조로 표현된다.
- 양자역학에서 양자 상태의 겹침을 나타내는 내적은 양선형 형식이다.
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최적화와 수치 해석
- 2차 형식(양선형 형식의 자체 곱)은 이차 계획법(Quadratic Programming)에서 목적함수로 쓰인다.
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컴퓨터 그래픽스
- 변환 행렬과 벡터의 곱, 그리고 조명 모델에서의 내적·외적 연산 모두 양선형 구조를 이용한다.
6. 관련 개념
| 용어 | 설명 |
|---|---|
| 다선형(multilinear) | 세 개 이상의 인자에 대해 각각 선형성을 가지는 함수 |
| 쌍선형 형식(bilinear form) | 양선형 사상의 특수한 경우, 목표공간이 기본 체(실수·복소수)인 경우 |
| 양사상(tensor) | 여러 양선형 사상을 동등하게 결합한 구조 |
| 선형 사상(linear map) | 하나의 인자에 대해만 선형성을 갖는 함수 |
| 쌍곡선(양축) | 기하학에서 양선형 형태를 통해 정의되는 곡선군 중 하나 |
7. 참고 문헌
- Howard Anton, “Linear Algebra”, 3rd ed., Wiley, 2015. – 양선형 형식과 행렬 표현에 대한 기본 서술.
- Steven J. Leon, “Linear Algebra with Applications”, 2nd ed., Pearson, 2020. – 양선형 형태의 대칭·반대칭 성질.
- John M. Lee, “Introduction to Smooth Manifolds”, 2nd ed., Springer, 2013. – 텐서와 양선형 사상의 미분기하학적 응용.
- E. Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, 10th ed., Wiley, 2016. – 물리학 및 공학에서의 양선형 활용 사례.
요약: 양선형은 두 벡터 공간을 입력으로 받아 한 벡터 공간(보통 기본 체)으로 값을 반환하는 함수로, 각각의 입력에 대해 선형성을 동시에 만족한다. 행렬을 통한 구체적 표현이 가능하고, 대칭·반대칭 등 다양한 특성을 통해 내적, 외적, 텐서 등 여러 수학·과학 분야에서 핵심적인 역할을 한다.