약해(弱解, weak solution)는 수학, 특히 미분방정식 이론에서 사용되는 개념으로, 미분불가능한 점이 포함될 수 있는 미분방정식의 해를 가리킨다. 이와 대비되는 개념으로 강해(strong solution)가 있으며, 강해는 방정식에 등장하는 모든 미분이 존재하는 해를 의미한다.
정의와 배경
약해는 상미분방정식(ODE) 또는 편미분방정식(PDE)의 해로서, 해당 함수의 도함수가 모두 존재하지 않을 수 있음에도 불구하고, 정확하게 정의된 의미에서 방정식을 만족시키는 것으로 간주되는 함수이다. 다양한 종류의 방정식에 적합한 서로 다른 약해의 정의가 존재하며, 그중 가장 중요한 정의 중 하나는 분포(distribution, 해석학)의 개념에 기초한다.
분포의 언어를 직접 사용하지 않는 방식으로도 약해를 정의할 수 있다. 즉, 원래의 미분방정식을 출발점으로 하여, 방정식의 해에 대한 도함수가 등장하지 않도록 방정식을 다시 작성한다. 이렇게 변형된 새로운 형태를 약한 공식화(weak formulation)라고 하며, 그 해를 약해라고 부른다.
주요 특징
미분방정식은 놀랍게도 미분불가능한 해를 가질 수 있다. 약한 공식을 사용하면 이러한 미분불가능한 해를 찾을 수 있게 된다. 실제 현상을 모델링할 때 접하게 되는 많은 미분방정식은 충분히 매끄러운(smooth) 해를 허용하지 않는 경우가 많으며, 이러한 방정식을 푸는 유일한 방법이 약한 공식을 사용하는 것일 수 있다.
또한 방정식에 미분가능한 해가 존재하는 상황에서도, 먼저 약해의 존재를 증명한 후 나중에 그 해가 실제로 충분히 매끄럽다는 것을 보이는 접근 방식이 편리한 경우가 많다.
구체적 예시
1계 파동방정식 ∂u/∂t + ∂u/∂x = 0을 예로 들 수 있다. 매끄러운 함수(테스트 함수) φ를 곱하고 부분적분(integration by parts)을 적용하면, 해 u에 대한 도함수가 없는 적분 방정식 형태로 변환된다. 이때 u(t, x) = |t − x|와 같은 함수는 원래의 미분방정식을 만족하지는 않지만, 약한 공식(테스트 함수에 대한 적분식)을 만족하는 약해의 예이다.
일반적 접근
선형 미분연산자 P(x, ∂)에 대해 방정식 P(x, ∂)u(x) = 0이 주어졌을 때, 테스트 함수 φ를 곱하고 부분적분을 반복 적용하면 연산자의 형식적 수반연산자(formal adjoint) Q(x, ∂)를 사용한 적분식 ∫u(x)Q(x, ∂)φ(x)dx = 0을 얻는다. 이 적분식을 모든 매끄러운 컴팩트 지지 함수 φ에 대해 만족하는 적분가능한 함수 u를 약해로 정의한다.
기타 유형의 약해
분포 기반의 약해 개념이 때로는 충분하지 않은 경우가 있다. 예를 들어 쌍곡선계(hyperbolic system)의 경우 분포 기반의 약해는 유일성을 보장하지 않으며, 엔트로피 조건이나 기타 선택 기준으로 보완해야 한다. 또한 해밀턴-자코비 방정식과 같은 완전 비선형 편미분방정식에서는 점성해(viscosity solution)라고 불리는 매우 다른 정의의 약해가 사용된다.
관련 개념
약해는 수치해석, 유한요소법, 유체역학(나비에-스토크스 방정식의 약해 연구 등) 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어 나비에-스토크스 방정식의 연구에서는 Leray–Hopf 약해와 같은 보다 구체적인 약해의 클래스가 정의되어 사용된다.
