약콤팩트 기수(弱compact基數, 영어: weakly compact cardinal)는 집합론에서 정의되는 큰 기수(large cardinal)의 하나이다. 비가산 기수 κ에 대하여, 무한 논리 L_{κ,κ}에서 약한 형태의 콤팩트성 정리(compactness theorem)가 성립할 때 이 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.
정의
비가산 기수 κ에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.
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무한 논리에서의 약한 콤팩트성: 무한 논리 L_{κ,κ}는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 임의의 이론 T ⊂ L_{κ,κ}에 대하여, 만약 |T| ≤ κ라면, 모든 크기가 κ보다 작은 부분 이론이 모형을 가질 경우 T 전체가 모형을 가진다.
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확장성(extension property): 임의의 U ⊂ V_κ에 대하여, (V_κ, ∈, U)를 기본적 부분 구조로 가지는 추이적 집합 (X, ∈, S)가 존재한다.
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분할 성질(partition property): κ → (κ)²²가 성립한다. 즉, 임의의 함수 f: [κ]² → {0,1}에 대하여, f가 상수인 κ 크기의 부분 집합이 존재한다.
성질
- 모든 말로 기수(Mahlo cardinal)는 약콤팩트 기수이다. 따라서 모든 도달 불가능한 기수(inaccessible cardinal)는 약콤팩트 기수이다.
- 모든 강콤팩트 기수(strongly compact cardinal)는 약콤팩트 기수이다.
- 약콤팩트 기수는 그 자체로 도달 불가능한 기수이며, 또한 말로 기수이다.
- 약콤팩트 기수는 Π¹₁-기술론(descriptive set theory)에서 반사 원리(reflection principle)와 깊은 관련을 가진다.
역사
약콤팩트 기수의 개념은 에르되시 팔(Paul Erdős)과 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)가 1961년 논문 "On some problems involving inaccessible cardinals"에서 도입하였다.
같이 보기
- 큰 기수
- 강콤팩트 기수
- 말로 기수
- 도달 불가능한 기수
- 콤팩트성 정리
