약수
정의
정수 $a$와 정수 $b$에 대해, $a$가 $b$를 나누어 떨어지면 $a$를 $b$의 약수(divisor)라고 한다. 이는 수식으로 $b \mod a = 0$ 또는 $b = a \times k$ (단, $k$는 정수) 로 표현된다.
기본 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 자기 자신과 1 | 모든 정수 $n$은 최소 두 개의 약수 $1$과 $n$을 가진다. |
| 양의 약수와 음의 약수 | $a$가 $n$의 약수이면, $-a$ 역시 $n$의 약수이다. |
| 짝수와 홀수 | 짝수는 2를 약수로 갖고, 홀수는 2를 약수로 갖지 않는다. |
| 합성수와 소수 | 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는다. 합성수는 1과 자기 자신 외에 추가적인 양의 약수를 가진다. |
| 약수의 개수와 소인수분해 | $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ (각 $p_i$는 서로 다른 소수)라면, $n$의 양의 약수 개수는 $(e_1+1)(e_2+1)\dots(e_k+1)$ 로 계산된다. |
| 약수의 합 | 위와 동일한 소인수분해에서, 양의 약수들의 합은 $\prod_{i=1}^{k} \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i-1}$ 로 구한다. |
예시
- $12$의 약수: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$. 양의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$이며, 개수는 6개이다.
- $13$은 소수이므로 약수는 $\pm1, \pm13$ (양의 약수 2개)이다.
관련 개념
- 배수: 정수 $b$가 $a$의 배수라면, $a$는 $b$의 약수이다.
- 공통 약수: 두 정수 $a, b$가 동시에 나누어지는 정수를 공통 약수라 하며, 그 중 가장 큰 양의 공통 약수를 최대공약수(GCD) 라고 한다.
- 약수 구하기 알고리즘: 정수 $n$의 모든 양의 약수를 찾기 위해서는 $1$부터 $\sqrt{n}$까지의 수를 검사한다. $\sqrt{n}$ 이하에서 나누어 떨어지는 수 $d$가 있으면, 대응되는 약수 $\frac{n}{d}$도 함께 기록한다.
응용
- 수론: 약수와 배수는 소수 판정, 최대공약수·최소공배수 계산, 완전수·친화수 등 다양한 수학적 성질을 연구하는 기초가 된다.
- 알고리즘 설계: 약수 탐색은 정수 분할, 약수 합 구하기, 약수 개수 계산 등의 문제에서 핵심 절차로 사용된다.
참고 문헌
- 교과서 및 표준 수학 서적(예: 《대학수학》, 《수학Ⅰ》)에 약수 개념이 광범위하게 기술되어 있다.
- 온라인 백과사전(예: 위키피디아)에서도 “Divisor” 항목에 해당 정의와 성질이 수록되어 있다.
