야코비 행렬(Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 1차 편도함수들로 구성된 행렬이다. 19세기 독일의 수학자 칼 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi)의 이름에서 유래하였다. '자코비안 행렬'이라고도 불린다.
정의
열린집합 $ U \subseteq \mathbb{R}^n $에서 정의된 함수 $ \mathbf{f}: U \to \mathbb{R}^m $가 점 $ \mathbf{a} \in U $에서 미분 가능할 때, $ \mathbf{f} $의 $ \mathbf{a} $에서의 야코비 행렬 $ J(\mathbf{f})(\mathbf{a}) $는 다음과 같이 정의된다.
$$ J(\mathbf{f})(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a}) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\mathbf{a}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a}) \end{pmatrix} $$
즉, $ J(\mathbf{f})(\mathbf{a})_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{a}) $로, $ i $번째 성분 함수의 $ j $번째 변수에 대한 편도함수이다. 이는 $ m \times n $ 크기의 행렬이다.
야코비 행렬식
$ n = m $인 경우(정사각행렬), 야코비 행렬의 행렬식 $ \det J(\mathbf{f})(\mathbf{a}) $를 야코비 행렬식(Jacobian determinant)이라고 한다. 이는 좌표 변환 시 국소적인 부피(또는 면적)의 변화율을 나타낸다.
기하학적 의미
야코비 행렬은 비선형 변환을 특정 점 근처에서 선형 변환으로 근사한 것이다. 즉, 함수 $ \mathbf{f} $의 $ \mathbf{a} $에서의 프레셰 도함수(Fréchet derivative)에 해당하며, 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{f}(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{a}) = J(\mathbf{f})(\mathbf{a}) \Delta \mathbf{x} + o(|\Delta \mathbf{x}|) \quad (\Delta \mathbf{x} \to \mathbf{0}) $$
야코비 행렬식의 절댓값은 해당 변환에 의해 단위 부피가 얼마나 늘어나는지를 나타내므로, 다변수 적분에서 변수 변환(치환적분) 시 사용된다. 예를 들어 극좌표 변환 $ (x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta) $의 야코비 행렬식은 $ r $이며, 이는 직교좌표계에서 극좌표계로 변환할 때 면적 요소가 $ dx,dy = r,dr,d\theta $가 됨을 의미한다.
표기법
야코비 행렬의 표기로는 다음과 같은 것들이 사용된다.
- $ J(\mathbf{f}) $, $ \mathbf{f}' $, $ D\mathbf{f} $
- $ \frac{\partial (f_1, \dotsc, f_m)}{\partial (x_1, \dotsc, x_n)} $ (일부 문헌에서는 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용)
활용
야코비 행렬은 다음과 같은 분야에서 사용된다.
- 다변수 미적분학: 변수 변환, 음함수 정리, 역함수 정리
- 로봇 공학: 로봇 팔의 속도 및 힘 관계 해석
- 최적화: 비선형 최적화 문제에서의 선형 근사
- 확장 칼만 필터(EKF): 비선형 시스템의 선형화
- 수치 해석: 뉴턴-랩슨 방법 등 비선형 방정식의 해 탐색
