암스트롱의 공리(Armstrong's axioms)는 관계형 데이터베이스 이론에서 함수 종속(Functional Dependency, FD)을 추론하기 위한 일련의 규칙 체계이다. 1974년 윌리엄 W. 암스트롱(William W. Armstrong)이 발표한 논문 "Dependency Structures of Data Base Relationships"에서 처음 제안되었다. 이 공리계는 주어진 함수 종속 집합 F로부터 논리적으로 함의되는 모든 함수 종속, 즉 폐포(closure) F⁺를 생성하는 데 있어 정당(sound)하고 완전(complete)한 것으로 알려져 있다.
기본 공리
암스트롱의 공리는 다음 세 가지 기본 규칙으로 구성된다.
반사의 공리(Reflexivity) (부분집합의 성질): Y가 X의 부분집합이면, X → Y이다. 즉, 어떤 속성 집합은 그 자신의 부분집합을 함수적으로 결정한다.
확대의 공리(Augmentation) (부가성): X → Y이면, 임의의 속성 집합 Z에 대하여 XZ → YZ이다. 기존의 함수 종속 관계에 동일한 속성들을 추가해도 종속 관계는 유지된다.
이행의 공리(Transitivity): X → Y이고 Y → Z이면, X → Z이다. 함수 종속은 이행적(transitive) 성질을 가진다.
부수적 법칙
위 세 가지 기본 공리로부터 다음과 같은 부수적 법칙들이 유도된다.
합집합의 성질(Union): X → Y이고 X → Z이면, X → YZ이다.
분해의 성질(Decomposition): X → YZ이면, X → Y이고 X → Z이다.
유사 이행적 성질(Pseudotransitivity): X → Y이고 YZ → W이면, XZ → W이다.
자기 결정(Self-determination): 임의의 속성 집합 X에 대하여 X → X이다.
특징
암스트롱의 공리는 정당성(soundness)과 완전성(completeness)을 동시에 만족한다. 정당성은 이 규칙들을 적용할 경우 오직 F⁺에 속하는 함수 종속만이 생성됨을 의미하며, 완전성은 F⁺에 속하는 모든 함수 종속이 이 규칙들의 반복 적용을 통해 생성될 수 있음을 의미한다. 이러한 성질로 인해 암스트롱의 공리는 데이터베이스 정규화(normalization) 이론의 기초를 이루며, 함수 종속 집합의 폐포 계산, 후보 키(candidate key) 탐색, 함수 종속의 논리적 함의 판별 등에 널리 활용된다.
