알레프 수(ℵ數, 영어: aleph number)는 집합론에서 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다. 히브리 문자의 첫 글자인 ℵ(알레프)를 사용하여 표기하며, 독일의 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)가 기수 및 순서수 이론을 정립하면서 도입하였다.
정의
체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 선택 공리(AC)를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수 정의를 사용할 때, 순서수 α에 대한 알레프 수 ℵα는 초한 귀납법으로 다음과 같이 정의된다.
- ℵ0 = |ℕ| (자연수 집합의 크기, 가장 작은 무한 기수)
- ℵα+1 = ℵα+ (α+1이 α의 따름 순서수일 때, ℵα의 바로 다음 기수)
- ℵλ = sup{ ℵβ : β < λ } (λ가 극한 순서수일 때, 그보다 작은 모든 알레프 수의 상한)
여기서 기수 κ의 바로 다음 기수 κ+는 κ < |α|인 순서수 α 중 가장 작은 것의 크기로 정의되며, 하르톡스 정리에 따라 항상 존재한다.
성질
알레프 수는 순서수의 고유 모임에서 기수의 고유 모임으로 가는 단사 함수와 같은 역할을 하며, 그 치역은 모든 무한 기수들로 이루어져 있다. 따라서 모든 순서수 α에 대하여 ℵα < κ < ℵα+1인 기수 κ는 존재하지 않는다.
알레프 수는 순서수 모임 위에서 순서 보존 함수이므로, 모든 순서수 α에 대하여 α ≤ ℵα가 성립한다. ℵα = α가 성립하는 α를 알레프 수의 고정점이라고 하며, 최소의 고정점은 sup{ℵ0, ℵω, ℵωω, …}이다. 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 알레프 수의 고정점이다.
주요 예
- ℵ0 (알레프 널/제로): 가장 작은 무한 기수로, 가산 무한 집합의 크기이다. 자연수 집합 ℕ, 정수 집합 ℤ, 유리수 집합 ℚ 등이 이 크기에 해당한다.
- ℵ1 (알레프 원): 가장 작은 비가산 기수이다. 모든 가산 순서수들의 집합의 크기와 같다.
- ℵω (알레프 오메가): {ℵn : n ∈ ℕ}의 상한이다. ZFC에서 2ℵ0 ≠ κ임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 κ이다.
연속체 가설과의 관계
일반화 연속체 가설(GCH)에 따르면 ℵα = ℶα(베트 수)가 성립한다. 특히 α = 1인 경우 ℵ1 = 2ℵ0가 성립하는데, 이를 연속체 가설(CH)이라고 한다. 연속체 가설은 ZFC 공리계에서 증명할 수도 반증할 수도 없는 독립적인 명제임이 쿠르트 괴델과 폴 코언에 의해 밝혀졌다.
역사
알레프 수 표기법은 게오르크 칸토어가 19세기 말 집합론을 창시하면서 도입하였다. 칸토어가 히브리 문자 알레프(ℵ)를 선택한 정확한 이유는 확실하지 않으나, 알레프는 히브리 문자의 첫 글자이다.
