정의
아핀 공간 $A$ 내의 점들의 집합 ${p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}}$이 아핀 독립하다는 것은, 다음 조건을 만족할 때이다.
$$ \sum_{i=0}^{k}\lambda_i p_i = 0 \quad\text{and}\quad \sum_{i=0}^{k}\lambda_i = 0 $$
인 실수 계수 $\lambda_i$에 대해 $\lambda_i = 0$ (모든 $i$에 대하여)만이 가능할 경우, 즉 위 두 식을 동시에 만족하는 비자명한 해가 존재하지 않을 때 ${p_{0},\dots ,p_{k}}$는 아핀 독립이라고 한다.
동등하게, 임의의 기준점 $p_{0}$를 고정하고 벡터 집합 ${p_{1}-p_{0},\dots ,p_{k}-p_{0}}$가 선형 독립(linearly independent)인 경우에도 아핀 독립이라고 할 수 있다.
특성
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차원과의 관계
- $k+1$개의 점이 아핀 독립이면, 그들이 존재하는 최소 아핀 부분공간의 차원은 $k$이다.
- 예를 들어, 2개의 점이 아핀 독립이면 두 점을 잇는 직선이 그들의 최소 아핀 부분공간이며 차원은 1이다.
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볼록성
- 아핀 독립 집합의 점들로 구성된 볼록 조합(convex combination)들은 모두 서로 다른 내부에 위치한다.
- 특히, 아핀 독립인 $n+1$개의 점이 $\mathbb{R}^n$에 존재하면, 그들의 볼록 hull은 $n$차원 단순체(simplex)가 된다.
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중복점
- 집합에 동일한 점이 두 번 이상 포함될 경우, 해당 집합은 아핀 독립이 아니다.
예시
| 차원 $\mathbb{R}^n$ | 아핀 독립 집합의 예 |
|---|---|
| $\mathbb{R}^0$ (점) | ${(0)}$ |
| $\mathbb{R}^1$ (선) | ${0,1}$ (두 점) |
| $\mathbb{R}^2$ (평면) | ${(0,0),(1,0),(0,1)}$ (세 점) |
| $\mathbb{R}^3$ (공간) | ${(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ (네 점) |
어원·용어 구성
- 아핀: 영어 affine에서 차용된 표기로, 라틴어 affinis(‘관계가 있는’)에서 유래하며, 선형 구조에 평행 이동을 허용하는 변환군을 의미한다.
- 독립: 한국어 ‘독립’은 ‘다른 것에 의존하지 않음’이라는 의미이며, 여기서는 선형·아핀 관계가 없음을 나타낸다.
- 집합: 수학에서 원소들의 모임을 지칭한다.
관련 개념
- 선형 독립: 벡터 공간에서 원점 기준의 선형 결합이 영벡터가 되려면 모든 계수가 0이어야 함. 아핀 독립은 기준점을 하나 고정하고 그 기준점에 대한 차이 벡터들의 선형 독립과 동등함.
- 단순체(simplex): 아핀 독립인 $n+1$개의 점이 이루는 최소 차원의 볼록 다면체.
참고문헌
- H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, 1969.
- D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, Chelsea Publishing, 1999.
- J. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013 (Affine Geometry 섹션).
위 내용은 수학 분야에서 널리 인정되는 정의와 성질에 기반한다. 추가적인 세부 사항은 전문 교과서 및 학술 논문을 참고한다.
