아티야 준군(Atiyah groupoid)은 미분기하학, 특히 주다발(principal bundle) 이론에서 등장하는 수학적 개념으로, 영국의 수학자 마이클 아티야(Michael Atiyah)의 이름에서 유래하였다. 위상 K-이론과 아티야-싱어 지표 정리 등으로 잘 알려진 아티야는 1957년 논문 "Complex analytic connections in fibre bundles"에서 이와 관련된 개념을 처음 도입하였다.
아티야 준군은 주다발의 기하학적 구조를 군oid(groupoid)의 언어로 표현한 것이다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 X 위에 정의된 G-주다발 P → X가 주어졌을 때, 이에 대응하는 아티야 준군 At(P)은 다음과 같이 정의된다. 대상(object)의 집합은 X의 각 점 x에 대한 올(fiber) P_x이며, 사상(morphism)의 집합은 서로 다른 두 올 P_x와 P_y 사이의 G-동변(equivariant) 미분동형사상 전체로 구성된다. 이때 사상의 집합은 (P × P)/G로 표현될 수 있으며, 이는 자연스러운 매끄러운 구조를 지닌다.
아티야 준군은 게이지 군oid(gauge groupoid) 또는 수송 군oid(transport groupoid)라고도 불리며, 그 리 대수(Lie algebroid)는 아티야 리 대수(Atiyah Lie algebroid)로 주어진다. 아티야 리 대수는 다음과 같은 짧은 완전열(short exact sequence)로 표현된다:
0 → ad(P) → at(P) → TX → 0
여기서 ad(P) = P ×_G g는 딸림 다발(adjoint bundle)이고, at(P) = (TP)/G가 아티야 리 대수이며, TX는 X의 접 리 대수(tangent Lie algebroid)이다.
이 완전열의 분할(splitting)은 주다발 위의 접속(connection)과 밀접하게 관련된다. 즉, 리 대수 범주에서의 분할은 평탄 접속(flat connection)에 대응하며, 단순히 벡터 다발 범주에서의 분할은 일반적인 접속(곡률을 가질 수 있음)에 대응한다.
아티야 준군은 더 높은 차원의 기하학으로 일반화되어 고차 아티야 군oid(higher Atiyah groupoid) 개념으로 확장되었으며, 이는 양자화 군 n-군(quantomorphism n-group) 및 쿠랑 리 2-대수(Courant Lie 2-algebroid)와 같은 개념들과 연결된다. 또한 미분 가능 스택(differentiable stack) 및 리 군oid 위의 주다발 이론에서 접속과 특성류를 연구하는 데 활용된다.
