체론(體論, field theory)에서 아벨 확대(Abel擴大, 영어: Abelian extension)는 그 갈루아 군(Galois group)이 아벨 군(Abelian group)이 되는 갈루아 확대(Galois extension)를 가리킨다. 이는 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802–1829)의 이름에서 유래하였으며, 추상대수학과 대수적 정수론의 핵심 개념 중 하나이다.
정의
체 $K$의 확대 $L/K$가 아벨 확대라는 것은 $L/K$가 갈루아 확대이고, 그 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$이 아벨 군일 때를 말한다. 특히 갈루아 군이 순환군(cyclic group)일 경우 순환 확대(cyclic extension)라고 부른다.
분류 이론
아벨 확대는 체의 성질에 따라 여러 이론을 통해 체계적으로 분류된다.
- 쿠머 이론(Kummer theory): 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대를 분류한다. 이에 따르면 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근을 첨가하여 얻을 수 있다.
- 아르틴-슈라이어 이론(Artin–Schreier theory): 체의 표수(characteristic)가 $p>0$인 경우, 차수가 $p$인 순환 확대를 분류한다. 이는 에밀 아르틴(Emil Artin)과 오토 슈라이어(Otto Schreier)가 1927년에 도입하였다.
- 아르틴-슈라이어-비트 이론(Artin–Schreier–Witt theory): 위 이론을 일반화하여 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 에른스트 비트(Ernst Witt)가 1936년에 비트 벡터(Witt vector) 개념을 도입하여 확립하였다.
- 유체론(類體論, class field theory): 체가 대역체(global field) 또는 국소체(local field)인 경우, 1의 거듭제곱근이 충분하지 않더라도 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다. 이는 가우스의 이차 상호 법칙에서 시작하여 다카기 데이지(高木貞治)와 에밀 아르틴 등에 의해 발전된 이론이다.
예시
- 원분체(cyclotomic field): 유리수체 $\mathbb{Q}$에 1의 원시 $n$제곱근 $\exp(2\pi i/n)$을 첨가하여 얻어지는 체는 유리수체의 순환 확대이자 아벨 확대이다.
- 크로네커-베버 정리(Kronecker–Weber theorem): 유리수체 위의 모든 유한 아벨 확대는 원분체의 부분체이다. 이는 1853년 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)가 처음 언급하고 1896년 다비트 힐베르트(David Hilbert)가 완전히 증명하였다.
- 소수 차수의 갈루아 확대는 (소수 크기의 군은 순환군뿐이므로) 항상 순환 확대이며, 따라서 아벨 확대이다.
역사
쿠머 이론은 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)가 1840년대에 페르마의 마지막 정리를 연구하기 위하여 도입하였다. 이후 아르틴-슈라이어 이론(1927)과 아르틴-슈라이어-비트 이론(1936)을 거쳐 유체론으로 이어지면서, 아벨 확대에 대한 연구는 현대 대수적 정수론의 중요한 축을 이루고 있다.
