아벨 판정법(Abel's test)은 미적분학 및 해석학에서 급수의 수렴성을 판정하는 정리 중 하나이다. 19세기 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802–1829)의 이름에서 유래하였다.
정의 (실수 항 급수)
두 실수 수열 $ (a_n){n=0}^{\infty} $, $ (b_n){n=0}^{\infty} $이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
- 급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n $은 수렴한다.
- $ (b_n)_{n=0}^{\infty} $은 단조수열이면서 유계 수열이다.
아벨 판정법에 따르면, 이때 급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n b_n $ 역시 수렴한다. 즉, 수렴급수에 단조 유계 수열을 이루는 계수를 곱하여 만든 새로운 급수도 수렴한다는 것을 보장한다.
이상 적분으로의 확장
실수 값 함수 $ f: [a, \infty) \to \mathbb{R} $와 $ g: [a, \infty) \to \mathbb{R} $에 대하여, 이상 적분 $ \int_a^{\infty} f(x) , dx $가 수렴하고 $ g $가 단조함수이면서 유계 함수라면, 이상 적분 $ \int_a^{\infty} f(x) g(x) , dx $ 역시 수렴한다.
균등 수렴으로의 확장
함수 항 급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} f_n $이 균등 수렴하고, 함수열 $ (g_n) $이 균등 유계이며 각 점에서 단조수열을 이룬다면, 함수 항 급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} f_n g_n $도 균등 수렴한다.
증명 방법
아벨 판정법은 주로 다음 두 가지 방식으로 증명된다.
- 디리클레 판정법을 통한 증명: $ (b_n) $이 단조 유계이므로 극한 $ b = \lim b_n $이 존재하며, $ (b_n - b) $는 0으로 수렴하는 단조수열이다. 디리클레 판정법을 적용하여 증명한다.
- 직접적 증명: 아벨 변환(Abel transformation, 부분합 공식)을 이용하여 코시 수열임을 보인다.
예시
아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수 $ \sum a_n $에 대하여 다음 급수들도 수렴한다.
- $ \sum \frac{n+1}{n} a_n $
- $ \sum \sqrt[n]{n} , a_n $
- $ \sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n a_n $
관련 개념
아벨 판정법은 같은 조건을 다루는 디리클레 판정법(Dirichlet's test)과 밀접한 관련이 있다. 디리클레 판정법이 $ \sum b_n $의 부분합의 유계성과 $ a_n $의 단조 수렴성을 요구하는 반면, 아벨 판정법은 $ \sum a_n $의 수렴성과 $ b_n $의 단조 유계성을 요구한다. 두 판정법은 서로를 통해 증명될 수 있으며, 이상 적분과 함수 항 급수의 균등 수렴으로도 확장된다.
