아벨 다양체

아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety)는 대수기하학에서 다루는 주요 대상 중 하나로, 대수군을 이루는 완비(complete) 대수다양체이다. 즉, 대수다양체이면서 동시에 아벨군(가환군) 구조를 가지며, 군 연산(덧셈과 역원)이 정칙 사상(regular morphism)으로 주어지는 대수적 구조이다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념으로 이해할 수 있다.

정의

대수적으로 닫힌 체 k 위의 아벨 다양체는 k에 대한, 대수군을 이루는 기약연결 사영 대수다양체로 정의된다. 아벨 다양체의 군 연산은 반드시 가환이며, 다양체는 비특이(non-singular)이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선(elliptic curve)이라고 한다.

역사

19세기 초, 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)과 카를 구스타프 야코비(Carl Gustav Jacobi)의 연구에서 타원 함수의 일반화로서 두 복소 변수를 갖고 네 개의 독립적인 주기를 가지는 함수가 연구되었으며, 이는 2차원 아벨 다양체(아벨 곡면)의 첫 번째 실마리를 제공하였다. 이후 리만(Riemann), 바이어슈트라스(Weierstrass), 프로베니우스(Frobenius), 푸앵카레(Poincaré), 피카르(Picard) 등이 아벨 함수 이론에 기여하였다. 1920년대에 레프셰츠(Lefschetz)가 복소 원환면의 관점에서 아벨 다양체 연구의 기초를 마련하였으며, "아벨 다양체"라는 용어를 처음 사용한 것으로 알려져 있다. 1940년대에 앙드레 베유(André Weil)가 대수기하학의 언어로 아벨 다양체의 현대적 기초를 확립하였다.

복소수체 위의 아벨 다양체

복소수체 C 위의 g차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면 V/Λ ≅ T^(2g)로 표현된다. 여기서 V ≅ C^g는 g차원 복소수 벡터 공간이고, Λ ⊂ V는 V 속의 격자(lattice)이다. 모든 복소수 원환면이 아벨 다양체가 되는 것은 아니며, 리만 조건(Riemann conditions)이라고 불리는 조건을 만족해야 한다. 구체적으로, 복소수 원환면 V/Λ 위에 양의 정부호 에르미트 형식(hermitian form)이 존재하고 그 허수부가 Λ × Λ 위에서 정수 값을 가질 때, 이 원환면은 사영 공간으로 정칙적으로 매장될 수 있으며 아벨 다양체가 된다. g=1인 경우(타원 곡선) 모든 복소수 원환면이 대수적이지만, g>1인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다.

예시

아벨 다양체의 주요 예로는 대수 곡선의 야코비 다양체(Jacobian variety), 일반적인 대수다양체의 피카르 다양체(Picard variety) 및 알바네세 다양체(Albanese variety)가 있다. 야코비 다양체는 대수 곡선 위에 존재하는 0차 선다발들의 모듈라이 공간으로, 주극성화(principal polarization)를 갖춘 아벨 다양체를 이룬다.

쌍대 아벨 다양체와 극성화

아벨 다양체 A에는 쌍대 아벨 다양체 A^∨가 대응되며, 이는 A 위의 차수 0인 선다발들을 매개하는 모듈라이 공간으로 정의된다. 극성화(polarization)는 아벨 다양체에서 그 쌍대 다양체로 가는 등원사상(isogeny)으로, 주극성화는 동형사상인 극성화를 의미한다. 야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화를 갖는다.

응용

아벨 다양체는 대수기하학과 정수론에서 핵심적인 연구 대상이자 도구로 사용된다. 수체(number field) 위에 정의된 아벨 다양체는 정수론에서 중요한 역할을 하며, 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 따르면 대역체 위의 아벨 다양체의 유리점 군은 유한 생성 아벨 군이다. 또한 아벨 다양체는 동역학계, 해밀턴 계, 그리고 모듈러스 공간 연구 등 다양한 분야에서 활용된다.