정의 아벨 군(Abelian group)은 군 연산에 대해 교환법칙(commutativity)이 성립하는 군(group)을 말한다. 가환군(可換群)이라고도 부른다.
개요 아벨 군은 추상대수학의 한 분야인 군론에서 가장 기본적인 대수적 구조 중 하나이다. 일반적인 군의 네 가지 공리(결합법칙, 항등원 존재, 역원 존재, 닫힘)에 더하여 교환법칙이 추가적으로 성립하는 것이 특징이다. 이러한 특성 덕분에 아벨 군은 비아벨 군(non-Abelian group)에 비해 그 구조가 훨씬 간단하며 다루기 쉽다. 아벨 군의 개념은 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 명명되었다.
어원/유래 '아벨 군'이라는 이름은 노르웨이의 저명한 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829)의 이름에서 유래한다. 아벨은 5차 이상의 일반적인 대수 방정식이 근의 공식으로 해를 구할 수 없음을 증명하는 과정에서 군 이론의 초석을 다지는 중요한 기여를 했다. 비록 그가 직접 '아벨 군'이라는 용어를 사용하거나 교환법칙이 성립하는 군을 집중적으로 연구한 것은 아니지만, 그의 대수학 연구, 특히 순열의 이론에 대한 기여가 현대 군론의 발전에 지대한 영향을 미쳤기 때문에, 군론의 중요한 특성인 교환법칙이 성립하는 군에 그의 이름이 붙게 되었다.
특징
- 교환법칙 성립: 아벨 군 G의 임의의 두 원소 $a, b \in G$에 대해 군 연산 $*$에 대해 $a * b = b * a$가 성립한다.
- 정규 부분군: 아벨 군의 모든 부분군(subgroup)은 정규 부분군(normal subgroup)이다. 이는 교환법칙이 성립하기 때문에 자연스럽게 따라오는 결과이다.
- 간단한 구조: 연산의 순서가 중요하지 않으므로 비아벨 군에 비해 그 구조를 이해하고 분류하기가 훨씬 용이하다.
- 표현론: 아벨 군의 표현론은 비아벨 군에 비해 매우 간단하다. 모든 유한 아벨 군의 기약 표현은 1차원이다.
- 유한 생성 아벨 군의 분류: 유한 생성 아벨 군은 유한 개의 순환군(cyclic group)의 직합으로 유일하게 분해될 수 있다는 분류 정리가 존재한다.
관련 항목
- 군 (수학)
- 교환법칙
- 닐스 헨리크 아벨
- 순환군
- 부분군
- 정규 부분군
- 갈루아 이론