아르틴 L-함수는 수론에서 데데킨트 제타 함수(Dedekind zeta function)와 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)를 일반화한 복소 함수이다. 이는 유한 갈루아 확대(Galois extension) $L/K$와 이 확대의 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$의 복소 표현(complex representation) $\rho$에 대해 정의된다. 1920년대 독일의 수학자 에밀 아르틴(Emil Artin)이 도입하였으며, 수론과 표현론을 잇는 중요한 다리 역할을 하며, 랭글랜즈 프로그램(Langlands program)의 핵심 구성 요소 중 하나이다.
정의
$K$를 대수적 수체(algebraic number field)라 하고, $L$을 $K$의 유한 갈루아 확대라 하자. $G = \mathrm{Gal}(L/K)$를 이 확대의 갈루아 군이라고 하자. $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$를 $G$의 유한 차원 복소 표현이라고 하자. (여기서 $V$는 복소 벡터 공간이다.)
아르틴 L-함수 $L(s, \rho, L/K)$는 다음 오일러 곱(Euler product)으로 정의된다:
$L(s, \rho, L/K) = \prod_{\mathfrak{p}} L_\mathfrak{p}(s, \rho, L/K)$
여기서 곱은 $K$의 모든 소이데알(prime ideal) $\mathfrak{p}$에 대해 이루어진다. 각 오일러 인자(Euler factor) $L_\mathfrak{p}(s, \rho, L/K)$는 $\mathfrak{p}$가 $L$에서 분기되는지(ramified) 여부에 따라 다르게 정의된다.
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$\mathfrak{p}$가 $L$에서 비분기(unramified)되는 경우: $K$의 거의 모든 소이데알 $\mathfrak{p}$는 $L$에서 비분기된다. 이 경우, 갈루아 군 $G$에는 $\mathfrak{p}$에 대한 프로베니우스 원소(Frobenius element) $Frob_\mathfrak{p}$의 켤레류(conjugacy class)가 잘 정의되어 있다. 표현 $\rho$는 이 켤레류에 대해 불변인 행렬식을 가지므로, 오일러 인자는 다음과 같다: $L_\mathfrak{p}(s, \rho, L/K) = \frac{1}{\det(I - \rho(Frob_\mathfrak{p}) N(\mathfrak{p})^{-s})}$ 여기서 $I$는 항등 행렬, $N(\mathfrak{p})$는 소이데알 $\mathfrak{p}$의 노름(norm), 즉 잉여류 체 $|\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}|$의 크기이다. $s$는 복소 변수이다.
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$\mathfrak{p}$가 $L$에서 분기(ramified)되는 경우: 분기된 소이데알 $\mathfrak{p}$의 경우, 해당 오일러 인자는 관성 부분군(inertia subgroup) $I_\mathfrak{p} \subset G$의 작용을 고려하여 정의된다. $V^{I_\mathfrak{p}}$를 $I_\mathfrak{p}$에 의해 고정되는 $V$의 부분 공간이라고 하면, $\rho(Frob_\mathfrak{p})$는 이 부분 공간 위에 작용하는 행렬을 유도한다. 이 경우의 오일러 인자는 다음과 같다: $L_\mathfrak{p}(s, \rho, L/K) = \frac{1}{\det(I - \rho(Frob_\mathfrak{p})|{V^{I\mathfrak{p}}} N(\mathfrak{p})^{-s})}$
이 오일러 곱은 $\mathrm{Re}(s) > 1$ 영역에서 절대 수렴하며, 이 영역에서 $L(s, \rho, L/K)$는 영이 아닌 해석 함수이다.
성질
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해석적 연속성 및 함수 방정식 (아르틴 추측): 아르틴은 모든 아르틴 L-함수가 전체 복소 평면으로 해석적으로 연속될 수 있으며, 특정 함수 방정식(functional equation)을 만족할 것이라고 추측했다.
- 1차원 표현($\dim(\rho)=1$)의 경우, 이는 디리클레 L-함수가 되며, 해석적 연속성과 함수 방정식은 이미 잘 알려져 있다.
- 자명한 표현(trivial representation) $\rho_0$의 경우, $L(s, \rho_0, L/K)$는 $K$의 데데킨트 제타 함수 $\zeta_K(s)$와 같아지며, $s=1$에서 단순 극(simple pole)을 갖는다.
- 일반적인 아르틴 추측, 특히 $s=1$에서 극을 갖지 않는다는 부분(즉, 자명하지 않은 표현에 대해 $L(1, \rho, L/K) eq 0$)은 여전히 미해결 문제로 남아있다. (자명하지 않은 기약 표현에 대해 $L(s, \rho, L/K)$가 전체 복소 평면으로 해석적으로 연속된다는 것은 이미 증명되었다.)
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컨덕터 (Artin conductor): 각 아르틴 L-함수에는 관련된 유한 이상(ideal)인 양의 정수 컨덕터 $f(\rho)$가 존재한다. 이는 표현 $\rho$의 분기 특성을 측정하며, 함수 방정식의 감마 인자(gamma factor)와 관계가 있다.
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덧셈성 (Additivity): 두 표현의 직합(direct sum)에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다: $L(s, \rho_1 \oplus \rho_2, L/K) = L(s, \rho_1, L/K) L(s, \rho_2, L/K)$
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유도 표현 (Induced representation)과의 관계: 표현 $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$가 부분군 $H \subset G$의 표현 $\sigma: H \to \mathrm{GL}(W)$로부터 유도된 표현($\rho = \mathrm{Ind}_H^G \sigma$)일 때, 아르틴 L-함수는 다음과 같은 관계를 만족한다: $L(s, \mathrm{Ind}_H^G \sigma, L/K) = L(s, \sigma, L/E)$ 여기서 $E = L^H$는 $H$의 고정체(fixed field)이다.
중요성
아르틴 L-함수는 수론적 대상(수체, 소이데알, 갈루아 확대)과 군 표현론적 대상(갈루아 군의 복소 표현) 사이의 깊은 연결을 제공한다. 이는 랭글랜즈 프로그램(Langlands program)의 중심적인 개념 중 하나이다. 랭글랜즈 추측은 아르틴 L-함수들이 특정 부동 형식(automorphic forms)과 연관된 L-함수들과 같을 것이라고 예측하며, 이는 수론의 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이다.