아다마르 행렬(Hadamard matrix)은 선형대수학에서 정의되는 정사각 행렬의 한 종류로, 모든 성분이 +1 또는 -1이며, 행벡터들끼리 서로 직교하고 열벡터들끼리도 서로 직교하는 성질을 가진다. 프랑스 수학자 자크 아다마르(Jacques Hadamard)의 이름에서 유래하였으며, 하다마드 행렬이라고도 불린다.
정의
n×n 실수 정사각 행렬 H에 대하여, H의 모든 성분이 ±1이고, H H^T = n I_n (여기서 I_n은 n×n 단위행렬)을 만족하면 H를 아다마르 행렬이라고 한다. 이 조건은 행벡터들이 서로 직교함을 의미하며, 이로부터 열벡터들 역시 서로 직교함이 따라 나온다.
존재 조건
아다마르 행렬이 존재하기 위한 필요 조건은 n = 1, n = 2이거나, n이 4의 배수여야 한다는 것이다. 즉, 3×3, 5×5, 6×6 등의 크기에서는 아다마르 행렬이 존재하지 않는다. n이 4의 배수이면 항상 아다마르 행렬이 존재한다는 추측을 아다마르 추측(Hadamard conjecture)이라고 하며, 이는 아직 증명되지 않은 미해결 문제이다. 다만 n < 668에 대해서는 이 추측이 참임이 확인되어 있다.
예시
가장 간단한 아다마르 행렬은 1×1 행렬 [1]과 2×2 행렬이다:
H₂ = [[1, 1], [1, -1]]
4×4 아다마르 행렬의 예는 다음과 같다:
H₄ = [[1, 1, 1, 1], [1, -1, 1, -1], [1, 1, -1, -1], [1, -1, -1, 1]]
실베스터 구성법
제임스 조지프 실베스터(James Joseph Sylvester)가 1867년에 발견한 구성법에 따르면, n차 아다마르 행렬 H가 주어졌을 때 다음과 같이 2n차 아다마르 행렬을 구성할 수 있다:
[H, H; H, -H]
이 방법을 반복하면 2^k 차수의 아다마르 행렬을 생성할 수 있다.
성질
- 아다마르 행렬의 행렬식(determinant)은 ±n^(n/2)이다. 이는 아다마르 부등식(Hadamard inequality)에 따라, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인 n×n 행렬 중에서 행렬식의 절댓값이 최대가 되는 값이다.
- 첫째 행과 첫째 열이 모두 +1로 구성된 아다마르 행렬을 표준형 아다마르 행렬이라고 하며, 행과 열의 순열 변환 및 -1을 곱하는 연산을 통해 모든 아다마르 행렬을 표준형으로 만들 수 있다.
- 아다마르 행렬의 전치행렬(transpose)은 역행렬과 밀접한 관계가 있다: H^(-1) = (1/n) H^T
활용 분야
아다마르 행렬은 다양한 분야에서 응용된다. 오류 정정 부호(Error-correcting code)의 일종인 아다마르 부호(Hadamard code)와 리드-뮬러 부호(Reed-Muller code)의 구성에 사용된다. 통계학에서는 분산 추정을 위한 균형 반복 복제법(Balanced Repeated Replication, BRR)에 활용된다. 또한 신호 처리, 양자 정보 이론, 조합 설계 이론(아다마르 설계, Hadamard design) 등에서도 중요한 역할을 한다. MATLAB과 같은 수치 해석 소프트웨어에서도 아다마르 행렬을 생성하는 함수가 제공된다.
